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Questão 39670

UFC 2001
Matemática

(UFC 2001) O conjunto solução da inequação    frac{1}{2x+1}<frac{1}{1-x} , tendo como conjunto universo o conjunto dos números reais, é:

A

left {xinmathbb{R},,,|,,,,x<-frac{1}{2},,,,,ou,,,,,,x>1 ight}

B

left {xinmathbb{R},,,|,,,,-frac{1}{2}<x<0,,,,,ou,,,,,,0<x<1 ight}

C

left {xinmathbb{R},,,|,,,,-frac{1}{2}<x<0,,,,,ou,,,,,,x>1 ight}

D

left {xinmathbb{R},,,|,,,,0<x<1,,,,,ou,,,,,,x>1 ight}

E

left {xinmathbb{R},,,|,,,,x<-frac{1}{2},,,,,ou,,,,,,0<x<1 ight}

Gabarito:

left {xinmathbb{R},,,|,,,,x<-frac{1}{2},,,,,ou,,,,,,0<x<1 ight}



Resolução:

frac{1}{2x+1}<frac{1}{1-x}

Inicialmente já temos as condições de existência da expressão:    x eq-frac{1}{2},,,,,,e,,,,,,,x eq1

Manipulando a expressão:

frac{1}{2x+1}-frac{1}{1-x}<0Rightarrow frac{(1-x)-(2x+1)}{(2x+1)(1-x)}<0

Rightarrow frac{-3x}{(2x+1)(1-x)}<0

Temos então três expressões     f(x)=-3x,,,,,,,g(x)=2x+1,,,,,e,,,,h(x)=1-x

Temos o seguinte quadro de sinais:

  x < -1/2 -1/2 < x < 0 0 < x < 1 x > 1
f(x) + + - -
g(x) - + + +
h(x) + + + -
f(x) / [g(x) * h(x)]  - + - +

Logo, percebemos que a expressão final é negativa quando   left {xinmathbb{R},,,|,,,,x<-frac{1}{2},,,,,ou,,,,,,0<x<1 ight}

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