Questão 39755

UFG 2006

Matemática

(UFG -2006) Certas combinações entre as funções $e^x$ e $e^{-x}$ (onde $e$ é o número de Euler, $xinmathbb{R}$ ) surgem em diversas áreas, como Matemática, Engenharia e Física. O seno hiperbólico e o cosseno hiperbólico são definidos por:

$sinh(x)=frac{e^x-e^{-x}}{2},,,;,,,,,,,,cosh(x)=frac{e^x+e^{-x}}{2}$

Então, $cosh^2(x)-sinh^2(x)$ é igual a:

A

$0$

B

$1/4$

C

$-1/4$

D

$1$

E

$-1$

Gabarito:

$1$

Resolução:

$cosh^2(x)=left(frac{e^x+e^{-x}}{2} ight )^2=frac{(e^x)^2+2cdot e^xcdot e^{-x}+(e^{-x})^2}{4} herefore cosh^2(x)=frac{e^{2x}+2+e^{-2x}}{4}$

$sinh^2(x)=left(frac{e^x-e^{-x}}{2} ight )^2=frac{(e^x)^2-2cdot e^xcdot e^{-x}+(e^{-x})^2}{4} herefore sinh^2(x)=frac{e^{2x}-2+e^{-2x}}{4}$

Logo, subtraindo as expressões:

$cosh^2(x)-sinh^2(x)=frac{e^{2x}+2+e^{-2x}}{4}-left(frac{e^{2x}-2+e^{-2x}}{4} ight )$

$herefore cosh^2(x)-sinh^2(x)=frac{4}{4}=1$