Questão 12473

Matemática

(Ufg 2007) A região do plano cartesiano, destacada na figura a seguir, é determinada por uma parábola, com vértice na origem, e duas retas.

Esta região pode ser descrita como o conjunto dos pares ordenados (x, y) ∈ IR × IR, satisfazendo

e $frac{x^2}{4} leq y leq -left(frac{x}{4} ight) + left(frac{3}{2} ight)$

e $-left(frac{x^2}{4} ight) leq y leq left(frac{x}{4} ight) + left(frac{3}{2} ight)$

e $4x^{2} leq y leq -left(frac{x}{4} ight) + left(frac{3}{2} ight)$

e $-4x^{2} leq y leq -left(frac{x}{4} ight) + left(frac{3}{2} ight)$

e $frac{x^2}{4} leq y leq left(frac{x}{4} ight )+left(frac{3}{2} ight )$

Gabarito: -2 leq x leq 2 e $frac{x^2}{4} leq y leq -left(frac{x}{4} ight) + left(frac{3}{2} ight)$

Resolução:

Olá! Tudo bem?

1º - Perceba que o valor de x varia entre -2 e 2, logo .

2º - Perceba que a área hachurada está entre uma parábola e uma reta.

2.1 - Encontrando a função da reta:

Temos os pontos:

(-2, 2) e (2,1)

Com isso,

$m=frac{2-1}{-2-2} = -frac{1}{4}$

$y-1 = -frac{1}{4}(x-2)$

$y-1 = -frac{x}{4}+frac{2}{4}$

$y= -frac{x}{4}+frac{3}{2}$

2.2 - Encontrando a função da parábola:

Temos os pontos:

(0,0), (2, 1), (-2,1)

Uma parábola tem o formato:

y=ax²+bx+c

Como a parábola passa pelo ponto (0,0), c=0.

Fazendo a substituição dos outros valores temos o sistema:

1 = 4a + 2b

1 = 4a - 2b

Com isso, somando as equações

2 = 8a

a = 1/4.

Sabendo que a=1/4, b=0.

Logo, $y= frac{x^2}{4}$

3) Com isso,