Questão 8243

Gabarito:

Resolução:

Veja que a rotação desse triângulo faz uma figura que, à primeira vista, não parece com nenhuma outra figura que conhecemos.

Porém, imagine que esse triângulo fosse na verdade um retângulo, ou seja, o vértice C fosse ligado à reta r por um segmento perpendicular a r assim como o vértice B. Ao rotacionar este retângulo obteríamos um clindro certo?

O que este cilindro tem a ver com o sólido formado pela rotação de ABC? O sólido formado pela rotação de ABC é igual ao cilindro formado pela rotação do retângulo anterior menos dois cones, um de geratriz AC (em cima) e outro de geratriz AB (em baixo). Esses cones são obtidos ao girarmos AC e AB como giramos o triângulo e o retângulo inteiros.

Portanto, o volume do sólido formado pela rotação de ABC é igual ao volume do cilindro MENOS a soma dos volumes dos cones gerados pela rotação de AC e AB.

Como o triângulo ABC é isósceles (ABC é isósceles por dois motivos: 1. o ângulo  é reto, ou seja, 90º; e 2. o segmento BC é paralelo à reta r), então AB = AC e, portanto, os cones formados pela rotação destes segmentos possuem o mesmo volume.

Vamos primeiramente calcular o volume do cilindro obtido da rotação do retângulo descrito inicialmente:

, onde raio é o raio do cilindro que é igual a distância entre C (ou B) à reta r que é igual a h (do enunciado) e altura é a altura do cilindro que é igual a BC = a. Daí, .

Agora vamos calcular o volume dos cones:

, onde raio é o raio do cone que é igual a distância entre C (ou B) à reta r que é igual a h, e altura é a altura do cone que é igual a BC/2 = a/2. Daí, .

Como são dois cones, temos que:

. Que é a Letra B.