Questão 12361

UFMG 2003

Matemática

(UFMG - 2003) Considere as retas cujas equações são

$y = -x + 4$ e $y = mx$ ,

em que m é uma constante positiva.

Nesse caso, a área do triângulo determinado pelas duas retas e o eixo das abscissas é

(4m²)/(2m - 1).

4m².

(8m)/(m + 1).

(2m + 10)/(2m + 1).

Gabarito:

(8m)/(m + 1).

Resolução:

Vamos encontrar os pontos de intersecção das retas que formam o triângulo:

Notamos que y=mx toca o eixo das abcissas em (0,0), enquanto y=-x+4 toca o eixo das abcissas em (4,0). Agora o ponto de intersecção das duas retas é:

$mx=-x+4 ightarrow mx+x=4 ightarrow x(m+1)=4 ightarrow x=frac{4}{m+1}$

Agora a coordenada em y:

$y=mfrac{4}{m+1}=frac{4m}{m+1}$

Com isso podemos calcular a área:

$A=frac{1}{2}cdot egin{vmatrix} 0 & 0\ 4 & 0\ frac{4}{m+1} &frac{4m}{m+1} \ 0 & 0 end{vmatrix} ightarrow frac{1}{2}cdot (0+frac{16m}{m+1}+0-0-0-0)=frac{8m}{m+1}$

Letra C

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