Questão 33510

UFPA 2003

Matemática

(PARÁ - 2003) Seja ABCD um retângulo e AC uma diagonal. Traçam-se desde B e desde D perpendiculares à diagonal AC, que a intersectam em P e Q, respectivamente. Sabe-se que os pontos P e Q dividem AC em três segmentos iguais, de comprimento 1. Determinar a área do retângulo ABCD.

$6$

$3sqrt{2}$

$sqrt{2}$

$2sqrt{2}$

Gabarito:

$3sqrt{2}$

Resolução:

Observe a figura a seguir:

Repare que a diagonal AC mede 3. Logo, fazendo Pitágoras, x² + y² = 3² = 9 (eq. I)

Repare no triângulo BQC. O lado BQ pode ser obtido por Pitágoras, $BQ=sqrt{x^2-1}$ .

Também observe que o triângulo BQC é semelhante ao triângulo ABC, já que ambos tem um ângulo de 90º e outro ângulo em comum, o $Qwidehat{B}C$ .
Logo, podemos fazer:

$frac{QC}{BC}=frac{BQ}{AB}Rightarrow frac{1}{x}=frac{sqrt{x^2-1}}{y}Rightarrow frac{y^2}{x^2}=x^2-1$ , porém, da eq.I, temos que y² = 9 - x². Logo:

$frac{y^2}{x^2}=x^2-1Rightarrow frac{9-x^2}{x^2}=x^2-1Rightarrow frac{9}{x^2}-1=x^2-1Rightarrow frac{9}{x^2}=x^2Rightarrow x^4=9Rightarrow x=sqrt{3}$

Como y² = 9 - x², então y² = 9 - 3 = 6 => $y=sqrt{6}$ .

Como a área é dada por x.y, então:

$A = xy=sqrt{3}cdotsqrt{6}=sqrt{3}cdotsqrt{3.2}=3sqrt{2}$

A alternativa correta é, portanto, a Letra B.