Questão 77256

UFPE 2003

Matemática

(UFPE - 2003 - Adaptada) Um cubo está inscrito em um cone circular reto, como ilustrado a seguir (uma base do cubo está contida na base do cone e os vértices da base oposta estão na superfície do cone). Se o cone tem raio da base medindo 4 e altura 8, assinale o inteiro mais próximo da medida do volume do cubo.

Gabarito:

Resolução:

O desenho ficaria mais ou menos assim:

Como temos que o raio do cone é 4 e a altura é 8, podemos assumir a aresta do cubo como a, e analisando a parte do cubo pra cima como um novo cone com altura 8-a e raio r. Podemos comparar então os dados que temos:

$frac{8-a}{8}=frac{r}{4} ightarrow frac{8-a}{2}=r ightarrow 8-a=2r$

Como 2r vai ser o diâmetro do cone, que vai ser igual à diagonal do quadrado, podemos substituir por $asqrt2$

$8-a=asqrt2$

Isolando a e colocando em evidência:

$asqrt2+a=8 ightarrow a(sqrt2+1)=8 ightarrow a=frac{8}{sqrt2+1}$

Racionalizando:

$frac{8}{sqrt2+1}cdotfrac{sqrt2-1}{sqrt2-1}=8(sqrt2-1)approx 3,3$

Esse é o valor de a. Como queremos o volume, elevamos ao cubo:

$a^3=3,3^3approx35,9$

O inteiro mais próximo é 36, letra B