Questão 39232

UFPE 2012

Matemática

(UFPE - 2012 - Adaptada) Considere a função $f(x)=left | x+1 ight |-left | x-1 ight |$ , definida para x real. Analise as afirmações seguintes sobre f.

( ) f é par.

( ) f é positiva.

( ) f é injetora.

( ) A imagem de f é o intervalo fechado [–2,2].

( ) f(x+y) = f(x) + f(y) para quaisquer x e y reais.

Marque a opção correta.

V - V - V - V - F.

V - F - F - V - V.

F - F - F - V - F.

F - V - F - F - V.

F - F - F - F - F.

Gabarito:

F - F - F - V - F.

Resolução:

I) Falso.

$f(-x) = |-x+1| - |-x-1|$

$f(-x) = |x-1| - |x+1|$

$f(-x) = -(|x+1|-|x-1|)$

$f(-x) = -f(x)$ , então f é ímpar.

II) Falso.

Verificando $f(-1)$ , temos: $|x+1| - |x-1| = |-1+1| - |-1-1| = 0 -2 = -2$

III) Falso.

Vamos verificar se é injetora:

$|m+1|-|m-1|=|n+1|-|n-1|$

$((m+1)-(m-1))^2=((n+1)-(n-1))^2$

$(m+1)^2 + (m-1)^2 + 2(m+1)(m-1) = (n+1)^2 + (n-1)^2 + 2(n+1)(n-1)$

$2(m^2+1)+2(m^2-1)=2(n^2+1)+2(n^2-1)$

$m^2=n^2$

Então podemos ter $m=-n$

Logo não é injetora.

IV) Verdadeiro.

V) Falso.

$f(2) = 2$

$f(1) = 2$

Pela afirmação:

$f(2+1) = f(2)+f(1) Rightarrow f(3) = 4$

Porém:

$f(3) = 2$