Questão 7475
UFPR 2012
(Ufpr 2012) Todas as faces de um cubo sólido de aresta 9 cm foram pintadas de verde. Em seguida, por meio de cortes paralelos a cada uma das faces, esse cubo foi dividido em cubos menores, todos com aresta 3 cm. Com relação a esses cubos, considere as seguintes afirmativas:
1. Seis desses cubos menores terão exatamente uma face pintada de verde.
2. Vinte e quatro desses cubos menores terão exatamente duas faces pintadas de verde.
3. Oito desses cubos menores terão exatamente três faces pintadas de verde.
4. Um desses cubos menores não terá nenhuma das faces pintada de verde.
Assinale a alternativa correta.
Somente as afirmativas 1, 2 e 4 são verdadeiras.
Somente as afirmativas 1 e 4 são verdadeiras.
Somente as afirmativas 1, 3 e 4 são verdadeiras.
Somente as afirmativas 2 e 3 são verdadeiras.
As afirmativas 1, 2, 3 e 4 são verdadeiras.
Gabarito:
Somente as afirmativas 1, 3 e 4 são verdadeiras.
Resolução:
Para essa questão, basta que o aluno tenha uma boa visão espacial.
Aqui está uma imagem para ajudar a visualizar:
(Na imagem, o corte foi separado nas três camadas começando de fora da tela para dentro dela)
I) Notem que, ao partir o cubo maior nos 27 cubos pequenos, apenas os cubinhos dos meios das faces possuem apenas um lado pintado. Como há 6 faces, então temos 6 cubinhos com uma só face pintada.
II) Os cubos com duas faces pintadas, são aqueles que não são os que estão no vértice do cubo maior (pois estes tem 3 faces pintadas), que não são o cubinho do centro do cubo maior (pois este não tem faces pintadas), e que não são aqueles com uma só face pintada (que são 6, como já vimos).
Os cubos que estão nos vértices são 8, os que tem uma só face pintada são 6 e o que está no centro é único. Então os cubos com duas faces pintadas são 27 - 8 - 6 - 1 = 12.
III) De fato, há 8 vértices no cubo maior, portanto 8 cubinhos que terão três faces pintadas.
IV) De fato, o cubo originado do centro do cubo maior, não possui nenhuma face pintada.
GABARITO: I, III e IV corretas