Questão 16

UFPR 2022

Matemática

(UFPR - 2022- 1ª fase)

Considere a seguinte matriz:

$A= egin{pmatrix} sen heta & 7 &-cos heta \ cos heta & 7 & sen heta \ sen heta &13 & cos heta end{pmatrix}$

Assinale a alternativa que corresponde à soma dos valores de $heta epsilon [0,pi]$ que satisfazem $det A= -13$ .

$frac{pi}{4}$

$frac{2pi}{3}$

$frac{3pi}{4}$

$2pi$

$4pi$

Gabarito:

$frac{3pi}{4}$

Resolução:

Temos a seguinte matriz:

$egin{vmatrix} sen( heta) & 7 & -cos( heta)\ cos( heta) & 7 & sen( heta)\ sen( heta) & 13 & cos( heta) end{vmatrix}=-13$

$\7sen( heta)cos( heta)+7sen^2( heta)-13cos^2( heta)+7sen( heta)cos( heta)-13sen^2( heta)-7cos^2( heta)\\7sen(2 heta)-7cos(2 heta)-13=-13\\7sen(2 heta)=7cos(2 heta) ightarrow sen(2 heta)=cos(2 heta)\\ tg(2 heta)=1$

A tangente valerá 1 no primeiro e no terceiro quadrante, quando o ângulo vale 45° ou 225°. Podemos escrever assim então:

$\2 heta=frac{pi}{4}+ncdotpi\\ heta=frac{pi}{8}+ncdotfrac{pi}{2}$

Vamos analisar os valores de n possíveis:

$n=0 ightarrow frac{pi}{8}+0cdotfrac{pi}{2} ightarrow frac{pi}{8}$

Está no intervalo!

$n=1 ightarrow frac{pi}{8}+1cdotfrac{pi}{2} ightarrow frac{pi}{8}+frac{pi}{2} ightarrow frac{5pi}{8}$

Está no intervalo!

$n=2 ightarrow frac{pi}{8}+2cdotfrac{pi}{2} ightarrow frac{pi}{8}+pi ightarrow frac{9pi}{8}$

Não está no intervalo!

Sendo assim, a soma dos valores possíveis é:

$frac{pi}{8}+frac{5pi}{8}=frac{6pi}{8}=frac{3pi}{4}$

Letra C

Questões relacionadas

Questão 11

(UFPR - 2022- 1ª fase) Após pagar o valor da conta da pizzaria, Ana, Beatriz e Carlos voltaram para casa. No caminho, ninguém se recordava de quanto foi exatamente o valor...

Ver questão

Questão 12

(UFPR - 2022- 1ª fase) Na figura ao lado, considere os segmentos de reta AE e CD ,e os triângulos retângulos ABC e BDE .Suponha que o comprimento de AB é igual a x, e...

Ver questão

Questão 13

(UFPR - 2022- 1ª fase) No plano cartesiano, considere o triângulo ABC com e . Seja D o ponto de intersecção do segmento AB com o eixo x .Se r &ea...

Ver questão

Questão 14

(UFPR - 2022- 1ª fase) Na figura ao lado, temos uma circunferência de raio com centro na origem do plano complexo e, ao longo da circunferência, temos 6 números compl...

Ver questão