Questão 8242

UFRGS 1983

Matemática

(UFRS - 83) Na figura, o triângulo tem catetos a e b. Se V_a e V_b são os volumes dos sólidos gerados pelas rotações de 360° do triângulo em torno de a e b, respectivamente, e V_b = 2V_A, então tg α é:

Gabarito:

Resolução:

Note que a revolução desse triângulo em 360º sempre forma cones. Como V_a é rotacionado em torno de a e V_b é rotacionado em torno de b, os cones serão diferentes:

1. V_a é um cone com raio igual a b e altura igual a a.

2. V_b é um cone com raio igual a a e altura igual a b.

Logo, aplicando as fórmulas de volume dos cones temos:

$V_a=frac{pi}{3}cdot r^2cdot h=frac{pi}{3}cdot b^2cdot a$

$V_b=frac{pi}{3}cdot r^2cdot h=frac{pi}{3}cdot a^2cdot b$

Como $V_b=2V_a$ , então:

$frac{pi}{3}cdot a^2cdot b=2cdotleft(frac{pi}{3}cdot b^2cdot a ight )Rightarrow a=2b$

Olhando para a figura do enunciado novamente:

$tgleft(alpha ight )=frac{a}{b}=frac{2b}{b}=2$

A Letra D é o item correto.