Questão 7955
UFSCAR 2002
(Ufscar 2002) Considerando que 2i é raiz do polinômio P(x) = 5x5 - 5x4 - 80x + 80, a soma das raízes reais desse polinômio vale
5.
4.
3.
2.
1.
Gabarito:
1.
Resolução:
Do teorema das raízes complexa temos que se 2i é raíz, então o seu conjugado -2i também é.
Além disso, podemos notar uma raíz trivial do polinômio, que é 1.
Logo, temos que:
P(x) = 5x5 - 5x4 - 80x + 80 = (x-2i).(x+2i).(x-1).Q(x) = (x²+4).(x-1).Q(x) = (x3-x2+4x-4).Q(x)
Q(x) deve ser um polinômio do 2º grau contendo as outras duas raízes de P(x). Desse modo, podemos encontrar Q(x) dividindo P(x) por (x3-x2+4x-4).
Fazendo a divisão, temos:
Então Q(x) = 5x² - 20
Calculando as raízes de Q(x):
5x² - 20 = 0
5x² = 20
x² = 4
x = 2 ou x = -2
Sendo assim, as raízes de P(x) são:
2i, -2i, 1, 2, -2.
Então a soma da 1.