Publicidade
  2. Vestibulares
  3. UFSCAR
  4. 2003
  5. Matemática
  6. Questão 32991
Publicidade

Questão 32991

UFSCAR 2003
Matemática

(UFSCAR - 2003) O valor de x, 0leq xleqfrac{pi}{2} , tal que 4cdotleft(1-sen^{2}x ight )left(sec^{2}x - 1 ight ) = 3 é

A

frac{pi}{2}

B

frac{pi}{3}

C

frac{pi}{4}

D

frac{pi}{6}

E

0

Gabarito:

frac{pi}{3}



Resolução:

Conhecendo as identidade:

1) Relação fundamental da trigonometria: sen²x + cos²x = 1, então 1 - sen²x = cos²x (I)

2) sec²x = 1 + tg²x, então sec²x - 1 = tg²x (II)

Substituindo (I) e (II) na equação original, temos:

4*(cos²x)*(tg²x) = 3

Como sabemos, tg²x = sen²x/cos²x, assim, sabendo que x não pode ser π/2, pois isso zeraria o denominador cos²x, temos que:

4*cos²x * tg²x = cos²x * sen²x/cos²x = 4*sen²x = 3.

Assim, tem-se que sen²x = 3/4 e que senx = +√3 /2  ou  senx = -√3 /2.

Contudo, como x está entre 0 e π/2, temos que senx > 0, logo apenas senx = +√3 /2 é valido.

Portanto, sendo sen(π/3) = +√3 /2, temos que x = π/3

Publicidade