Questão 7374

UFSCAR 2004

Matemática

(Ufscar 2004) Sendo m e n números reais positivos, o sistema linear

nas variáveis x e y será possível e determinado se e somente se

A

B

C

D

E

Gabarito:

Resolução:

1) Temos que para que isso seja verdadeiro, temos que

$egin{vmatrix}log _2left(m ight):&log _4left(n ight):\ ::::1:&:1end{vmatrix} e :0$

2) Logo, como $det :egin{vmatrix}a:&:b:\ c:&:d:end{vmatrix}:=:ad-bc$

Temos que:

$log _2left(m ight)-log _4left(n ight) e :0$

$log _2left(m ight) eq log _4left(n ight)$

3) Usando a propriedade: $:a=log _bleft(b^a ight)$

$log _4left(n ight)=log _2left(2^{log _4left(n ight)} ight)$

$log _4left(n ight)=log _2left(2^{log _{2^2}left(n ight)} ight)$

3.1) $mathrm{Aplicar:as:propriedades:dos:logaritmos}:quad log _{a^b}left(x ight)=frac{1}{b}log _aleft(x ight)$ :

$log _4left(n ight)=log _2left(2^{frac{1}{2}log _2left(n ight)} ight)$

3.2) $mathrm{Aplicar:as:propriedades:dos:expoentes}:quad :a^{bc}=left(a^b ight)^c$

$log _4left(n ight)=log _2left(sqrt{2^{log _2left(n ight)}} ight)$

3.3) $mathrm{Aplicar:as:propriedades:dos:logaritmos}:quad :a^{log _aleft(b ight)}=b$

$log _4left(n ight)=log _2left(sqrt{n} ight)$

4) Logo, substituindo:

$log _2left(m ight) e log _2left(sqrt{n} ight)$

$m e sqrt{n}$

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