Questão 6492

UFSM 2003

Matemática

(Ufsm 2003) Sejam f(x) = 5x + 2 e g(x) = (1/2)^x. Se m = [ f(1) + f(2) + ... + f(100) ] / [ g(1) + g(2) + ... + g(100) ], então

m < 19.000

19.000 ≤ m < 21.000

21.000 ≤ m < 23.000

23.000 ≤ m < 25.000

m ≥ 25.000

Gabarito:

m ≥ 25.000

Resolução:

Observe que a função $f(x) = 5x+2$ descreve uma progressão aritmética de razão 5 e termo inicial igual a 2. Além disso, a função $g(x) = (frac{1}{2})^{x}$ descreve uma progressão geométrica de razão igual a 1/2 e termo inicial igual a 1/2.

A expressão $m=frac{f(1)+f(2)+...+f(100)}{g(1)+g(2)+...+g(100)}$ calcula a razão entre a soma da PA descrita por f(x) e a soma da PG descrita por g(x).

Logo, vamos calcular a soma das progressões:

$S_{f(x)}=frac{(a_{1}+a_{n})*n}{2} ightarrow S_{f(x)}=frac{(5*1+2+5*100+2)*100}{2} ightarrow$ $S_{f(x)}=frac{509*100}{2}=509*50=25450$

$S_{g(x)}=frac{a_{1}}{1-q} ightarrow S_{g(x)}=frac{1/2}{1-1/2} ightarrow S_{g(x)}=1$

Logo, o valor de m é igual a $m = frac{S_{f(x)}}{S_{g(x)}}=25450$

Gabarito: letra e)

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