Questão 6490

UFSM 2005

Matemática

(Ufsm 2005) No piso do hall de entrada de um shopping, foi desenhado um quadrado Q₁ de 10 m de lado, no qual está inscrito um segundo quadrado Q₂ obtido da união dos pontos médios dos lados do quadrado anterior e, assim, sucessivamente, Q₃, Q₄, ..., formando uma sequência infinita de quadrados, segundo a figura. Dessa forma, a soma das áreas dos quadrados é de

A

25 m²

B

25√2 m²

C

200 m²

D

50√2 m²

E

100 (2 + √2 ) m²

Gabarito: 200 m²

Resolução:

1) O comprimento do lado EF do quadrado EFHG pode ser calculado utilizando teorema de Pitágoras:

$5^2+5^2=EF^2$

$EF=5sqrt{2}$

2) Com isso, podemos calcular a razão em que a área dos triângulos decai:

ABCD = 100 m²

EFGH = 50 m²

Logo a razão é $frac{1}{2}$

3) Aplicando na fórmula de soma de PG infinita:

$S_infty =frac{a_1}{1-q} = frac{100}{1-frac{1}{2}}=200 ; m^2$

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