Questão 12118

UFU 2011

Matemática

(Ufu 2011) Seja o trapézio ABCD com ângulos retos em A e D. Suponha que o ângulo em B coincida com o ângulo θ , conforme ilustra a figura. Então, o menor valor possível para a razão é igual a

Gabarito:

Resolução:

$\\ ext{Veja que traçando a altura do triângulo } ABC ext{ em relação ao lado } AB ext{, forma-se um triângulo semelhante ao triângulo } ADC ext{. Logo, tem-se que, do triângulo } ADC ext{:} \\ tg heta=frac{DC}{AD}\\ ext{Mas, do triângulo determinado pela altura traçada e pelos lados } BC ext{ e } AB-DC ext{, vem que:} \\ tg heta=frac{AD}{AB-DC}\\ ext{Portanto, segue que:} \\ frac{DC}{AD}=frac{AD}{AB-DC};;Rightarrow;;AB=frac{AD^2+DC^2}{DC}\\ ext{Assim, a razão } eta=frac{AB}{AD} ext{ pedida fica:} \\ eta=frac{frac{AD^2+DC^2}{DC}}{AD}=frac{AD^2+DC^2}{ADcdot DC};;Rightarrow;;eta=frac{AD}{DC}+frac{DC}{AD}=frac{1}{tg heta}+tg heta\\ ext{Da desigualdade das médias, segue que:} \\ MA geq MG;;Rightarrow;;frac{frac{1}{tg heta}+tg heta}{2}geq sqrt{frac{1}{tg heta}cdot tg heta};;Rightarrow;;frac{eta}{2}geq 1;; herefore;;etageq 2\\ ext{Portanto, o menor valor possível para a razão } eta ext{ pedida é:} \\ oxed{eta_{min}=2}$