Questão 8246

UNESP 1991

Matemática

(UNESP - 91) No trapézio ABCD da figura os ângulos internos em A e B são retos, e o ângulo interno em D é tal que sua tangente vale . Se overline{AD} = 2cdot overline{AB} , o volume do sólido obtido ao se girar o trapézio em torno da reta por B e C é dado por:

Gabarito:

Resolução:

Para se determinar o volume total em função de a, deve-se perceber que ele será formado pelo volume de um cilindro (de base a e altura 2a) menos o volume de um cone (de raio de base a e altura desconhecida).
A seguir, dividimos a figura em um retângulo e um triângulo retângulo, trançando uma reta partindo de C perpendicular a AD. Dessa forma, a distância da interseção até o ponto D é a altura que devemos encontrar do cone formado após a revolução.

Como: $tg , D = frac{sen}{cos}=frac{cateto: oposto}{cateto : adjacente} = frac{a}{x}=frac{5}{6}$

Temos que $x=frac{6a}{5}$

Logo: $V_{total}=V_{cilindro}-V_{cone}$

$V_{total}= pi a^{2}*2a-frac{1}{3} pi a^{2}frac{6a}{5}$
$V_{total}= frac{8 pi a^{3}}{5}$

Questão 8246

UNESP 1991

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