(UNESP - 2014 - 1ª FASE) Sabe-se que, na equação x3 + 4x2 + x - 6 = 0, uma das raízes é igual à soma das outras duas. O conjunto solução (S) desta equação é
S = {– 3, – 2, – 1}
S = {– 3, – 2, + 1}
S = {+ 1, + 2, + 3}
S = {– 1, + 2, + 3}
S = {– 2, + 1, + 3}
Gabarito:
S = {– 3, – 2, + 1}
1ª resolução:
x3 + 4x2 + x - 6 = 0
Vemos, de início, que x = 1 é raíz trivial da equação.
Assim, dividindo x3 + 4x2 + x - 6 por x - 1 temos:
x2 + 5x + 6 = 0
Usando Bhaskara, vemos que x = -3 ou x = -2.
Vemos que -2 = -3 + 1, ou seja, as raízes satisfazem o que foi dito no enunciado.
S = {-3; -2; 1}
2ª resolução:
x3 + 4x2 + x - 6 = 0
Seja a, b e c as raízes.
Temos que, segundo o enunciado, a = b + c
Usando as relações de Girard, temos:
a + b + c = -4, assim a + a = -4, logo a = -2
Assim, b + c = -2 (i)
Ainda com as relações de Girard, temos:
6 = abc, então bc = -3 (ii)
Com (i) e (ii), temos:
b+c = -2, então b = -2 - c
Substituindo b em (ii):
c(-2 -c) = -3, então
2c + c² = 3, então
c² + 2c - 3 = 0
Resolvendo por Bhaskara, vemos que c = 1 ou c = -3.
Assim, o conjunto solução é S = {-3; -2; 1}