Questão 22

UNESP 2014

Matemática

(UNESP - 2014 - 2 FASE) A imagem mostra uma taça e um copo. A forma da taça é, aproximadamente, de um cilindro de altura e raio medindo R e de um tronco de cone de altura R e raios das bases medindo R e r. A forma do copo é, aproximadamente, de um tronco de cone de altura 3R e raios das bases medindo R e 2r.

Sabendo que o volume de um tronco de cone de altura h e raios das bases B e b é $frac{1}{3}cdot pi cdot hleft ( B^{2} +Bcdot b +b^{2} ight )$ e dado que $sqrt{65}cong 8$ , determine o raio aproximado da base do copo, em função de R, para que a capacidade da taça seja $frac{2}{3}$ da capacidade do copo.

Gabarito:

Resolução:

Utilizando a fórmula dada temos:

Capacidade da Taça: $V_T = frac{4pi .R^3+ pi . R^2. r + pi . R. r^{2}}{3}$

Capacidade do copo: $V_{c} = pi . R^{3} + 2 pi . R^{2} r + 4 . pi R . r^{2}$

Fazendo V_T = 2/3(V_C), temos:

$7R .r^{2} + 3 .R^{2}.R-2.R^{3}= 0$

Resolvendo a equação na incógnita r, temos:

$r = frac{-3 cdot R^{2}+sqrt{65.R^{4}}}{14.R}= frac{5.R}{14}$

$r = frac{-3.R^2 - sqrt {65.R^4}}{14 cdot R} = frac{11 cdot R}{14}$ (não convém)

Portanto, o raio do copo será: $frac{2 cdot 5 cdot R}{14} = frac{5 cdot R}{7}$

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