Questão 4

UNICAMP 2001

Matemática

(UNICAMP - 2001 - 2 FASE) O teorema fundamental da aritmética garante que todo número natural n > 1 pode ser escrito como um produto de números primos. Além disso, se $n=p_{1}^{t_{1}}* p_{2}^{t_{2}}*K*p_{r}^{t_{r}}$ , onde p₁, p₂, K e p_r são números primos distintos, então o número de divisores positivos de n é d(n)=(t₁+1) (t₂+1) K (t_r+1)

a) Calcule d(168), isto é, o número de divisores positivos de 168.

b) Encontre o menor número natural que tem exatamente 15 divisores positivos.

Gabarito:

Resolução:

a) Vamos decompor 168 em fatores primos, então:

$168 = 2^{3} . 3^{1} . 7^{1}$

Portanto, temos que o número de divisores positivos de 168 é:

d(168) = (3+1)(1+1)(1+1) = 16

b) Temos que 15 = 3.5, o que é (2+1)(4+1), então concluímos que os números naturais n tem exatamente 15 dividores positivos do tipo:

$n = p_{1}^{2} . p_{2}^{4} ou n = p_{1}^{4}. p_{2}^{2} ou n = p_{1}^{14}$

Sendo que p1 e p2 são fatores primos distintos.

Então:

$2^{4} . 3^{2} = 144$

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