Questão 9

UNICAMP 2001

Matemática

(UNICAMP - 2001 - 2 FASE) As populações de duas cidades, A e B, são dadas em milhares de habitantes pelas funções $A(t)=log_{8}^{(1+t)^{6}}$ e $B(t)=log_{2}^{(4t+4)}$ onde a variável t representa o tempo em anos.

a) Qual é a população de cada uma das cidades nos instantes t = 1 e t = 7 ?

b) Após certo instante t, a população de uma dessas cidades é sempre maior que a da outra. Determine o valor mínimo desse instante t e especifique a cidade cuja população é maior a partir desse instante.

Gabarito:

Resolução:

$\ A(t) = log_{8}(1+t)^{6} \ \ B(t) = log_{2}(4t+4)$

A e B representam as populações em milhares de habitantes, portanto. t>0, representa o tempo em anos, com isso:

$\ A(1) = log_{8}(1+1)^{6} = log_{2^{3}}2^{6} = 2 \ \ B(1) = log_{2}(4.1+4) = log_{2}8 = 3 \ \ A(7) = log_{8}(1+7)^{6} = log_{8}8^{6} = 6 \ \ B(7) = log_{2}(4.7+4)= log_{2}32 = 5$

$\ A(t) > B(t) \ \ log_{8}(1+t)^{6} > log_{2}(4t+4) \ \ frac{6}{3} log_{2} (1+t) > log_{2}4 + log_{2}(t+1) \ \ log_{2}(1+t) > 2 \ \ 1+t > 4 \ \ t> 3$

Temos que após 3 anos a população A é sem´pre maior que a de B.

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