Questão 11

UNICAMP 2001

Matemática

(UNICAMP - 2001 - 2 FASE) Considere o polinômio p(x )= x³+2x²+5x+26

a) Verifique se o número complexo 2 + 3i é raiz desse polinômio.

b) Prove que p(x) > 0 para todo número real x > – 2.

Gabarito:

Resolução:

a) Se $p(x) = x^{3} -2x^{2} +5x +26 ,portanto$ :

$P(2+3i) = (2+3i)^{3} -2.(2+3i)^{2} +5.(2+3i) + 26$

$\ P(2+3i) = (2+3i)^{2} .[(2+3i)-2.(2+3i)^{2} +5.(2+3i)] + 26 \ \ = (4+12i+9i^{2}). (3i)+36+15i \ \ = (-5+36i^{2}+36+15i) \ \ -15i-36+36+15i = 0$

Com isso 2 + 3i é raiz de p(x)

b) As raízes de p(x) são: (2+3i) , (2-3i) e r

Pelas relações de Girard, temos:

$\ (2+3i)+(2-3i) + r = 2 \ \ r = -2$

Temos que p(x) na forma fatorada é:

$p(x) = (x+2)(x-2+3i)(x-2-3i) \ \ p(x) = (x+2)(x^{2}-4x+13) \ \ x> -2 \ \ x +2 > 0 \$

Então p(x) é maior que zero, visto que :

$(x^{2}-4x+13) > 0$

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