Questão 12

UNICAMP 2001

Matemática

(UNICAMP - 2001 - 2 FASE) A base de uma pirâmide é um triângulo eqüilátero de lado L = 6cm e arestas laterais das faces A = 4cm.

a) Calcule a altura da pirâmide.

b) Qual é o raio da esfera circunscrita à pirâmide?

Gabarito:

Resolução:

A) Seja P o pé da altura da h da piramide e M o ponto médio de AC, como mostra a ilustração a seguir:

Temos que:

$overline{AM}=frac{L}{2}=frac{6}{2}=3$

Além disso, $overline{BM}$ é a altura do triângulo ABC então:

$overline{BM}=frac{Lsqrt{3}}{2}=frac{6sqrt{3}}{2}=3sqrt{3}$

Como P é o pé da altura da piramide temos que

$overline{BM}=3overline{PM}Rightarrow overline{PM}=frac{3sqrt{3}}{3}=sqrt{3}$

Pelo teorema de Pitágoras para o triângulo AVM:

$4^2=overline{VM}^2+3^2Rightarrow overline{VM}=sqrt{7}$

Aplicando novamente o teorema de Pitágoras agora para o triângulo MPV:

$sqrt{7}^2=sqrt{3}^2+h^2$

$h=2,cm$

Portanto, a altura da piramide é 2 cm

B) Seja O o centro como mostra a figura:

Aplicando o Teorema de Pitágoras no triângulo VPA temos:

$4^2=2^2+overline{PA}Rightarrow overline{PA}= 2sqrt{3}$

Pela simetria da figura O pertence à reta suporte de da altura da piramide, com isso tem-se duas possibilidades $R< h$ ou $R>h$

Aplicando o teorema de Pitágoras para a primeira opção temos:

$R^2=(h-R)^2+(2sqrt{3})^2$

$R^2=R^2-4R+4+12$

$4R=16$

$R=4 ,cm$

Para a segunda opção temos:

$R^2=(R-h)^2+(2sqrt{3})^2$

$R^2=R^2-4R+4+12$

$4R=16$

$R=4 ,cm$

Então o raio da esfera é 4 cm

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