Questão 10

(UNICAMP - 2010 - 2 fase - Questão 10)

O GPS (Global Positioning System) consiste em um conjunto de satélites que orbitam a Terra, cada um deles carregando a bordo um relógio atômico. A Teoria da Relatividade Geral prevê que, por conta da gravidade, os relógios atômicos do GPS adiantam com relação a relógios similares na Terra. Enquanto na Terra transcorre o tempo de um dia (), no satélite o tempo transcorrido é   , maior que um dia, e a diferença de tempo  tem que ser corrigida. A diferença de tempo causada pela gravidade é dada por , sendo  a diferença de energia potencial gravitacional de uma massa  entre a altitude considerada e a superfície da Terra, e , a velocidade da luz no vácuo.

a) Para o satélite podemos escrever , sendo  o raio da órbita,  m o raio da Terra e  a aceleração da gravidade na superfície terrestre. Quanto tempo o relógio do satélite adianta em em razão do efeito gravitacional?

b) Relógios atômicos em fase de desenvolvimento serão capazes de medir o tempo com precisão maior que uma parte em  , ou seja, terão erro menor que  a cada segundo. Qual é a altura  que produziria uma diferença de tempo  a cada ? Essa altura é a menor diferença de altitude que poderia ser percebida comparando medidas de tempo desses relógios. Use, nesse caso, a energia potencial gravitacional de um corpo na vizinhança da superfície terrestre.