Questão 3

UNICAMP 2015

Matemática

(UNICAMP - 2015) Considere a função 𝑓(𝑥) = 10^1+𝑥 + 10^1−𝑥 , definida para todo número real 𝑥.

a) Mostre que 𝑓(log₁₀(2 + √3)) é um número inteiro.

b) Sabendo que log₁₀ 2 ≈ 0.3, encontre os valores de 𝑥 para os quais 𝑓(𝑥) = 52.

Gabarito:

Resolução:

A) Usando a propriedade de que $x^{log_xb} = b$ , temos que :

$f(log_{10}(2+sqrt3)) = 10cdot(2+sqrt3) + frac{10}{2+sqrt3}$

$f(log_{10}(2+sqrt3)) = frac{10(1+4+4sqrt3+3)}{2+sqrt3}$

$f(log_{10}(2+sqrt3)) = frac{10(8+4sqrt3)}{2+sqrt3}=40$

B) Seja $10^x = c$

$f(x) = 52 ightarrow 10c + frac{10}{c} = 52$

$10c^2 -52c + 10 =0$

$c =frac{52pm sqrt{52^2-400}}{20}$

$c =frac{52pm 48}{20} ightarrow c = 5$ ou $c= frac{1}{5}$

$10^x = 5$ ou $10^x = frac{1}{5}$

$x = log_{10} 5 = 1- log_{10} 2 approx 0,7$ ou $x = -log_{10} = -1-+log_{10} 2 approx -0,7$

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