Questão 52

UNICAMP 2016

Matemática

(UNICAMP - 2016 - 1ª FASE) Um cilindro circular reto, cuja altura é igual ao diâmetro da base, está inscrito numa esfera. A razão entre os volumes da esfera e do cilindro é igual a

$frac{4sqrt{2}}{3}$

$frac{4}{3}$

$frac{3sqrt{2}}{4}$

$sqrt{2}$

Gabarito:

$frac{4sqrt{2}}{3}$

Resolução:

Considerando o raio da esfera como $r$ e o raio da base do cilindro como $R$ , temos que:

$V_e=frac{4}{3}pi r^3$

$V_c=pi R^2.2R$

A razão entre eles é, então:

$frac{V_e}{V_c}=frac{frac{4}{3}pi r^3}{pi R^2.2R} : Rightarrow : frac{2}{3}left(frac{r}{R} ight )^3$

Pelo desenho, traçamos uma relação entre $R$ e $r$ :

$cos(45^o)=frac{sqrt{2}}{2}=frac{2R}{2r}: Rightarrow : frac{r}{R}=sqrt2$

Então:

$frac{V_e}{V_c}= frac{2}{3}(sqrt 2)^3 = frac{4sqrt2}{3}$

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