Questão 17
UNICAMP 2017
(UNICAMP - 2017 - 2 FASE)
Um instrumento importante no estudo de sistemas nanométricos é o microscópio eletrônico. Nos microscópios ópticos, a luz é usada para visualizar a amostra em estudo. Nos microscópios eletrônicos, um feixe de elétrons é usado para estudar a amostra.
a) A vantagem em se usar elétrons é que é possível acelerá-los até energias em que o seu comprimento de onda é menor que o da luz visível, permitindo uma melhor resolução. O comprimento de onda do elétron é dado por 𝜆 = ℎ / (2𝑚𝑒𝐸𝑐 )1⁄2 , em que 𝐸𝑐 é a energia cinética do elétron, 𝑚𝑒~9 × 10−31 kg é a massa do elétron e ℎ~6,6 × 10−34 N∙m∙s é a constante de Planck. Qual é o comprimento de onda do elétron em um microscópio eletrônico em que os elétrons são acelerados, a partir do repouso, por uma diferença de potencial de 𝑈 = 50 kV? Caso necessário, use a carga do elétron 𝑒 = 1,6 × 10−19 C.
b) Uma forma usada para gerar elétrons em um microscópio eletrônico é aquecer um filamento, processo denominado efeito termiônico. A densidade de corrente gerada é dada por 𝐽 = 𝐴𝑇2𝑒(−Φ⁄(𝑘𝐵𝑇)), em que 𝐴 é a constante de Richardson, 𝑇 é a temperatura em kelvin, 𝑘𝐵 = 1,4 × 10−23 J/K é a constante de Boltzmann e Φ, denominado função trabalho, é a energia necessária para remover um elétron do filamento. A expressão para 𝐽 pode ser reescrita como o 𝑙𝑛(𝐽/𝑇2) = 𝑙𝑛(𝐴)−(Φ⁄𝑘𝐵)(1⁄ 𝑇), que é uma equação de uma reta de 𝑙𝑛(𝐽 ⁄ 𝑇2) versus (1⁄𝑇), em que 𝑙𝑛(𝐴) é o coeficiente linear e (Φ⁄𝑘𝐵) é o coeficiente angular da reta. O gráfico da figura abaixo apresenta dados obtidos do efeito termiônico em um filamento de tungstênio. Qual é a função trabalho do tungstênio medida neste experimento?
Gabarito:
Resolução:
a) 𝜆 = ℎ / (2𝑚𝑒𝐸𝑐 )1⁄2, nos foi dada a constante de Planck e a massa do elétron. Falta descobrir a energia cinética.
Para isso vamos utilizar o teorema do trabalho e energia.
A intensidade do trabalho da força elétrica é dada por |W| = |qU| = 1,6*10-19*50*103 = 80*10-16 J.
Essa é a variação da energia cinética, mas como saímos do repouso, também corresponde à energia cinética final.
Logo, 𝜆 = 6,6*10-34/(2*9*10-31*80*10-16)0,5.
𝜆 = 6,6*10-34/(1440*10-47)0,5.
𝜆 = 6,6*10-34/(12²*10-46)0,5.
𝜆 = 6,6*10-34/12*10-23.
𝜆 = 5,5*10-12 m.
b) 
O coeficiente angular da reta é (-40 - (-35))/[(1-0,9)*10-3] = -50*103 K.
Da equação fornecida no enunciado, inferimos que esse coeficiente é igual a −(Φ⁄𝑘𝐵).
Logo, 50*103*𝑘𝐵 = Φ.
Φ = 50*103*1,4*10-23 = 7*10-10 J.