Questão 22

UNICAMP 2018

Matemática

(UNICAMP - 2018 - 1ª FASE) A figura abaixo exibe um setor circular dividido em duas regiões de mesma área. A razão $frac{a}{b}$ é igual a

$sqrt{3}+1$

$sqrt{2}+1$

$sqrt{3}$

$sqrt{2}$

Gabarito:

$sqrt{2}+1$

Resolução:

Temos que a área do setor circular é dada por:

$A=frac{alpha pi r^2 }{360^o}$

Área cinza escura é dada por:

$A_1=frac{alpha pi a^2 }{360^o}$

Área cinza clara é dada por:

$A_2=frac{alpha pi (a+b)^2 }{360^o} - frac{alpha pi a^2 }{360^o}$

Do enunciado:

$A_1=A_2$

$frac{alpha pi a^2 }{360^o} = frac{alpha pi (a+b)^2 }{360^o} - frac{alpha pi a^2 }{360^o}$

$a^2= (a+b)^2 - a^2; Rightarrow ; 2a^2=(a+b)^2 ; Rightarrow ; sqrt{ 2a^2}=sqrt{(a+b)^2};$

$asqrt{2}=a+b; Rightarrow ; asqrt{2}-a=b; Rightarrow ; a(sqrt{2}-1)=b$

$frac{a}{b}=frac{1}{(sqrt{2}-1)}$

Racionalizando:

$frac{1}{(sqrt{2}-1)}.frac{(sqrt{2}+1)}{(sqrt{2}+1)}; Rightarrow ; sqrt{2}+1$

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