Questão 24

UNICAMP 2018

Matemática

(UNICAMP - 2018 - 1ª FASE) Seja x um número real tal que sen x + cos x = 0,2. Logo, $left | sen x - cos x ight |$ é igual a

0,5

0,8

1,1

1,4

Gabarito:

1,4

Resolução:

Para a resolução, primeiro elevamos ambos os lados ao quadrado:

$(senx+cosx)^{2}=0,2^{2}$

Isso dá um produto notável que expandindo fica:

$sen^{2}x+2senx cdot cosx+cos^{2}x=0,04$

Note que a relação fundamental $sen^{2}x+cos^{2}x=1$ pode ser aplicada transformando tudo em:

$2senx ; cosx=0,04-1$

$2senx ; cosx=-0,96$

Agora vamos trabalhar com o módulo:

$|senx-cosx| =sqrt{(senx - cosx)^{2}}$

$sqrt{(senx - cosx)^{2}}=sqrt{sen^{2}x-2senxcosx+cos^{2}x}$

novamente, usando a relação fundamental:

$sqrt{sen^{2}x-2senxcosx+cos^{2}x}=sqrt{1-2senxcosx}$

substituindo o valor que já temos:

$sqrt{1-(-0,96)}=sqrt{1,96}=1,4$

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