Questão 15

UNICAMP 2018

Matemática

(UNICAMP - 2018 - 2ª FASE) Considere a sequência de números reais ( $a_1,;a_2,;a_3,;a_4,;a_5$ ) tal que ( $a_1,;a_2,;a_3$ ) é uma progressão geométrica e ( $a_3,;a_4,;a_5$ ) é uma progressão aritmética, ambas com a mesma razão $w$ .

a) Determine a sequência no caso em que $a_3=3$ e $w=2$ .

b) Determine todas as sequências tais que $a_{1}=1$ e $a_{5}=8$ .

Gabarito:

Resolução:

a) Como $(a_{1},a_{2},a_{3})$ c é uma progressão geomética de razão w, temos
$a_{2} = a_{1} cdot w$
$a_{3}=a_{2}cdot w$ .
Como $a_{3}=3$ e $w=2$ , temos $a_{2}=frac{a_{3}}{w}= frac{3}{2}$ e $a_{1}=frac{a_{2}}{w}=frac{frac{3}{2}}{2}=frac{3}{4}$ .
Como $(a_{3}, a_{4},a_{5})$ é uma progressão arimética de razão w, temos
$a_{3}=3 , ; a_{4}=a_{3}+w=3+2=5$
$a_{5}=a_{4}+w=5+2=7$ .
Portanto, a sequência é $(frac{3}{4},frac{3}{2},3,5,7)$

b) Sendo

$a_1 = 1$ ,
$a_2 = a_1cdot;w=w$ ,
$a_3 = a_2 cdot w = w^2$
$a_4 = a_3 + w = w^2 + w$
$a_5 = a_4 + w = w^2 + 2w$ .

Logo $w^2 + 2w = 8Leftrightarrow w^2+2w-8=0Leftrightarrow w = 2$ ou $w = -4$ .

Temos então as sequências:

Considerando w = 2:
$a_2 = 2$ ,
$a_3 = 2^2=4$ ,
$a4 = 2^2 + 2 = 6$
sequência (1, 2, 4, 6, 8).

Considerando w = –4,

$a_2 = -4$ ,
$a_3 = (-4)2 = 16$ ,
$a_4 = 16 + (-4) = 12$ ,
sequência (1, –4, 16, 12, 8).

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