Questão 10

UNICAMP 2023

Física

(UNICAMP - 2023 - 2ª fase)

O espelho primário do Telescópio Espacial James Webb é côncavo e tem diâmetro de aproximadamente seis metros – cerca de três vezes o do espelho do Telescópio Espacial Hubble. Isso permite a observação de objetos celestes ainda mais distantes.

a) A figura, no espaço de respostas, apresenta um espelho esférico de raio de curvatura $R_{C}= 10 m$ . Um objeto O está posicionado no eixo óptico a uma distância $p = 15 m$ do vértice do espelho, e dois raios incidentes no espelho são assinalados como (1) e (2). Encontre a distância $p$ da imagem ao vértice do espelho. A imagem é real ou é virtual? É direita ou é invertida? É ampliada ou é reduzida?

b) Em 1929, o astrônomo Edwin Hubble observou que a velocidade v de afastamento de uma galáxia é proporcional à sua distância D até a Terra, estabelecendo a chamada lei de Hubble: $v= H_{0}D$ , sendo $H_{0}= frac{2 cdot 10^{-2} m/s}{ano-luz}$ a constante de Hubble. Para a determinação da velocidade de afastamento, os astrônomos usaram o efeito Doppler, que produz um deslocamento da frequência da luz proveniente das galáxias, de forma que, para $vll c$ , tem-se: $frac{f_{obser}}{f_{emit}} simeq 1-frac{v}{c}$ , sendo $f_{obser}$ e $f_{emit}$ respectivamente as frequências observada e emitida, e 8 $c = 3,0 cdot 10^{8} m/s$ a velocidade da luz no vácuo. A que distância D fica uma galáxia para a qual certo comprimento de onda da luz observada é 25% maior que o da luz emitida, ou seja, $frac{lambda_{obser}}{lambda_{emit}} simeq 1,25$ ?

Gabarito:

Resolução:

a) O foco é:

$f=frac{R_C}{2}=frac{10}{2}=5 m$

Aplicando a equação de Gauss com p = 15 m:

$frac{1}{p}+frac{1}{p}=frac{1}{f}\\frac{1}{15}+frac{1}{p}=frac{1}{5}\\frac{1}{p}=frac{1}{5}-frac{1}{15}=frac{3-1}{15}=frac{2}{15}\\p= 7,5 m$

Dessa forma, o aumento linear é:

$A=-frac{p}{p}=-frac{7,5}{15}=-frac{1}{2}$

Como p' > 0 : imagem real

A < 0: imagem invertida

|A| < 1: imagem reduzida

b) A intensidade da velocidade de afastamento da fonte:

$frac{f_{obs}}{f_{emi}}approx 1-frac{v}{c}\\frac{frac{c}{lambda_{obs}}}{frac{c}{lambda_{emi}}}approx 1-frac{v}{3cdot 10^8}\\frac{lambda_{emi}}{lambda_{obs}}= frac{1}{25} approx 1-frac{v}{3cdot 10^8}\\v approx 6,0 cdot 10^7 m/s$

A distância:

$v=H_0D\6cdot 10^7 = 2cdot 10^{-2}D\D= 3,0cdot 10^9 anos-luz$

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