Questão 12460

Gabarito:

4

Resolução:

Temos a equação reduzida de uma reta qualquer:

y - y₀ = m(x - x₀)

Sabendo que a nossa reta passa por P (-2; 0), temos que:

y = m(x + 2)

Sabemos que a reta tangencia a circunferência em um único ponto, assim podemos resolver um sistema entre as duas equações pois ele deve possuir uma solução, o ponto P(-2; 0):

y = m(x + 2)

x² + y² - 2x - 6y - 8 = 0

Substituindo y na segunda equação, temos:

x² + (m(x + 2))² - 2x - 6(m(x + 2)) - 8 = 0, então

x² + m²(x² + 4x + 4) - 2x - 6mx - 12m - 8 = 0

agrupando os termos de mesmo grau em x:

(m² + 1)x² + (4m² - 2 - 6m)x + 4m² - 12m - 8 = 0

Como só há uma solução no sistema, temos que o delta da equação acima deve ser zero (solução única):

Δ = (4m² - 2 - 6m)² - 4*(m² + 1)*(4m² - 12m - 8) = 0

Desenvolvendo, temos:

16m⁴ - 48m³ + 20m² + 24m + 4 - 4*(4m⁴ - 12m³  - 4m² - 12m - 8) = 0

Continuando o desenvolvimento, temos:

36m² + 72m + 36 = 0, dividindo tudo por 36:

m² + 2m + 1 = 0

Resolvendo a equação, temos:

m = -1

Assim, a equação da nossa reta é:

y = -1(x + 2), então

x + y + 2 = 0

Logo, a = b = 1 e c = 2, então a+b+c = 4

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Fazendo com a equação da reta que a questão forneceu, vem:

Sendo , vem:

Foi dito, no enunciado, que essa reta passa pelo ponto 

Vamos substituir esse ponto na nossa equação, já que ele pertence a nossa reta..:

Daí podemos escrever:

Isolando , vem:

Substituindo esse valor de  na circunferência, vem:

Como a reta tangencia a circunferência, podemos fazer:

Daí temos: