Questão 6594

URGS 1980

Matemática

(V.UNIF.RS - 80) A razão entre os comprimentos das circunferências circunscrita e inscrita a um quadrado é:

Gabarito:

Resolução:

1) Analisando a circunferência inscrita:

1.1) Uma circunferência está inscrita em um quadrado, quando ela se encontra dentro deste quadrado, e a sua borda tangencia todos lados do quadrado.

1.2) Logo, o raio será $r=frac{l}{2}$

1.3) Com isso, o comprimento da circunferência será $2 cdot pi cdot frac{l}{2} = pi l$

2) Analisando a circunferência circunscrita:

2.1) Uma circunferência é circunscrita a um quadrado, quando ela se encontra fora deste quadrado, e a sua borda tangencia todos os vértices do quadrado.

2.2) Logo, o raio será $frac{l sqrt{2}}{2}$

2.3) Com isso, o comprimento da circunferência será $2 cdot pi cdot frac{l sqrt{2}}{2} = pi l sqrt{2}$

3) Logo, a razão entre os comprimentos das circunferências circunscrita e inscrita a um quadrado é:

$frac{pi l sqrt{2}}{pi l} = sqrt{2}$