(CESCEA 1968) Dado o segmento AB de extremidades A(-4,1) e B(5,7) as coordenadas do ponto C que o divide na razão AC/CB = 4 são:
(-11/5, 12/5)
(16/5, 29/5)
(1, 8)
(1/2, 4)
(9, 6)
Gabarito:
(16/5, 29/5)
Segue a solução:
Considerando AC = 4CB temos
r (razão de secção) = 4
x1 = -4
x2 = 5
y1 = 1
y2 = 7
Coordenadas do ponto divisor:
x3 = (x1+r*x2)/(1+r)---> x3 = (-4 + 4*5)/(1+4)----> x3 = 16/5
y3 = (y1 + r*y2)/(1+r)--->y3 = (1 + 4*7)/(1+4)---> y3 = 29/5
Resposta: (16/5, 29/5).
Para deixar mais clara a solução é só pensar o seguinte:
Quando faz-se a soma entre as coordenadas x ou y de dois pontos e divide-se por 2 por exemplo, encontramos a coordenada média entre eles. Tomando valores simples como -1 e 4, a soma dá 3. Dividindo por 2 chegamos à coordenada 3/2 (ou 1,5 para facilitar), que é exatamente a coordenada do ponto médio considerando a distância do segto que vai de -1 a 4 (vale 5). Veja que se tomarmos a distância da coordenada -1 até a coordenada 1,5 chegamos em 2,5 , que é metade da distância inicial (-1 a 4). e se partirmos da coordenada 1,5 e somarmos o 2,5 que é a distancia de -1, a 1,5, chegaremos em 4, que é a coordenada do outro extremo. Logo, 3/2 é ponto médio entre elas.
Para então encontrar uma distância que não seja a média, aplicamos a razão entre os segmentos resultantes do ponto que os divide na razão em questão. Dessa maneira fazemos o mesmo cálculo do ponto médio, mas garantindo qualquer razão que queremos!