Questão 6616

USP 1971

Matemática

(CESCEA - 1971) A expressão: é equivalente a:

cos x + sen x

cos x - sen x

cos⁴x

sen⁴x

Gabarito:

cos⁴x

Resolução:

Temos a expressão:

$E = frac{cos^{4}(x)-sen^{4}(x)}{1-tg^{4}(x)}$

Lembrando do produto notável

a² - b² = (a + b)*(a - b)

Temos:

$E = frac{(cos^{2}(x)+sen^{2}(x)) cdot (cos^{2}(x)-sen^{2}(x))}{(1+tg^{2}(x)) cdot (1 - tg^{2}(x))}$

Da relação fundamental da trigonometria, tem-se que, para todo x real, cos²x + sen²x = 1.

Também conhecemos a identidade: 1 + tg²x = sec²x = 1/cos²x.

Substituindo essas duas relações em E, temos:

$E = frac{cos^{2}(x)-sen^{2}(x)}{ frac{1}{cos^{2}(x)} cdot (1 - tg^{2}(x))} = frac{cos^{2}(x) cdot (cos^{2}(x) - sen^{2}(x))}{1 - tg^{2}(x)}$

Agora, escrevendo tg(x) = sen(x)/cos(x), tem-se:

$E = frac{cos^{2}(x) cdot (cos^{2}(x) - sen^{2}(x))}{1 - tg^{2}(x)} = frac{cos^{2}(x) cdot (cos^{2}(x) - sen^{2}(x))}{1 - frac{sen^{2}(x)}{cos^{2}(x)}} = frac{cos^{2}(x) cdot (cos^{2}(x) - sen^{2}(x))}{frac{cos^{2}(x)-sen^{2}(x)}{cos^{2}(x)}} =$

$= frac{cos^{2}(x) cdot (cos^{2}(x) - sen^{2}(x))}{frac{cos^{2}(x)-sen^{2}(x)}{cos^{2}(x)}} = cos^{4}(x)$

Questão 6616

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