Questão 30286
(ENEM PPL - 2012) Uma maneira muito útil de se criar belas figuras decorativas utilizando a matemática é pelo processo de autossemelhança, uma forma de se criar fractais. Informalmente, dizemos que uma figura é autossemelhante se partes dessa figura são semelhantes à figura vista como um todo. Um exemplo clássico é o Carpete de Sierpinski, criado por um processo recursivo, descrito a seguir:
- Passo 1: Considere um quadrado dividido em nove quadrados idênticos (Figura 1). Inicia-se o processo removendo o quadrado central, restando 8 quadrados pretos (Figura 2).
- Passo 2: Repete-se o processo com cada um dos quadrados restantes, ou seja, divide-se cada um deles em 9 quadrados idênticos e remove-se o quadrado central de cada um, restando apenas os quadrados pretos (Figura 3).
- Passo 3: Repete-se o passo 2.
Admita que esse processo seja executado 3 vezes, ou seja, divide-se cada um dos quadrados pretos da Figura 3 em 9 quadrados idênticos e remove-se o quadrado central de cada um deles.
O número de quadrados pretos restantes nesse momento é
64.
512.
568.
576.
648.
Gabarito:
512.
Resolução:
É possível perceber que, na primeira iteração, vamos ter 8 quadrados pretos, é possível verificar isso na própria figura. Na segunda iteração, que também podemos ver na figura, vamos ter quadrados pretos, ou seja, 64 quadrados. Lembrando que cada um dos 8 quadrados da primeira iteração irão gerar 8 novos quadrados pretos, por isso temos
. Prosseguindo, na terceira iteração, vamos ter
quadrados pretos, totalizando em 512 quadrados pretos.