FUVEST 2012

Questão 48576

(UNICAMP - 2012 - 2 fase - Questão 4)

Uma curva em formato espiral, composta por arcos de circunferência, pode ser construída a partir de dois pontos A e B, que se alternam como centros dos arcos. Esses arcos, por sua vez, são semicircunferências que concordam sequencialmente nos pontos de transição, como ilustra a figura ao lado, na qual supomos que a distância entre A e B mede 1 cm.

a) Determine a área da região destacada na figura.

b) Determine o comprimento da curva composta pelos primeiros 20 arcos de circunferência.

Questão 48577

(UNICAMP - 2012 - 2 fase - Questão 5)

Um brilhante é um diamante com uma lapidação particular, que torna essa gema a mais apreciada dentre todas as pedras preciosas.

a) Em gemologia, um quilate é uma medida de massa, que corresponde a 200 mg. Considerando que a massa específica do diamante é de aproximadamente 3,5 g/cm³, determine o volume de um brilhante com 0,7 quilate.

b) A figura ao lado apresenta a seção transversal de um brilhante. Como é muito difícil calcular o volume exato da pedra lapidada, podemos aproximá-lo pela soma do volume de um tronco de cone (parte superior) com o de um cone (parte inferior). Determine, nesse caso, o volume aproximado do brilhante.

Dica: o volume de um tronco de cone pode ser obtido empregando-se a fórmula

em que R e r são os raios das bases e h é a altura do tronco.

Questão 48578

(UNICAMP - 2012 - 2 fase - Questão 6)

O mostrador de determinado relógio digital indica horas e minutos, como ilustra a figura ao lado, na qual o dígito da unidade dos minutos está destacado.

O dígito em destaque pode representar qualquer um dos dez algarismos, bastando para isso que se ative ou desative as sete partes que o compõem, como se mostra abaixo.

a) Atribuindo as letras a, b, c, d, e, f, g aos trechos do dígito destacado do relógio, como se indica ao lado, pinte no gráfico de barras abaixo a porcentagem de tempo em que cada um dos trechos fica aceso. Observe que as porcentagens referentes aos trechos f e g já estão pintadas.

b) Supondo, agora, que o dígito em destaque possua dois trechos defeituosos, que não acendem, calcule a probabilidade do algarismo 3 ser representado corretamente.

Imagem da folha de resposta.

Questão 48579

(UNICAMP - 2012 - 2 fase - Questão 7)

Um supermercado vende dois tipos de cebola, conforme se descreve na tabela abaixo:

a) Uma consumidora selecionou cebolas pequenas e grandes, somando 40 unidades, que pesaram 1700 g. Formule um sistema linear que permita encontrar a quantidade de cebolas de cada tipo escolhidas pela consumidora e resolva-o para determinar esses valores.

b) Geralmente, as cebolas são consumidas sem casca. Determine a área de casca correspondente a 600 g de cebolas pequenas, supondo que elas sejam esféricas. Sabendo que 600 g de cebolas grandes possuem 192π cm² de área de casca, indique que tipo de cebola fornece o menor desperdício com cascas.

Questão 48586

(UNICAMP - 2012 - 2 fase - Questão 8)

Considere a função f(x) = 2x + |x + p|, definida para x real.

a) A figura ao lado mostra o gráfico de f(x) para um valor específico de p. Determine esse valor.

b) Supondo, agora, que p = –3, determine os valores de x que satisfazem a equação f(x) = 12.

Questão 48589

(UNICAMP - 2012 - 2 fase - Questão 9)

Uma bateria perde permanentemente sua capacidade ao longo dos anos. Essa perda varia de acordo com a temperatura de operação e armazenamento da bateria. A função que fornece o percentual de perda anual de capacidade de uma bateria, de acordo com a temperatura de armazenamento, T (em °C), tem a forma

em que a e b são constantes reais positivas. A tabela abaixo fornece, para duas temperaturas específicas, o percentual de perda de uma determinada bateria de íons de Lítio.

Com base na expressão de P(T) e nos dados da tabela,

a) esboce, abaixo, a curva que representa a função P(T), exibindo o percentual exato para T = 0 e T = 55;

b) determine as constantes a e b para a bateria em questão. Se necessário, use log₁₀(2) ≈ 0,30, log₁₀(3) ≈ 0,48 e log₁₀(5) ≈ 0,70.

Imagem da folha de respostas.

Questão 48591

(UNICAMP - 2012 - 2 fase - Questão 10)

Seja dada a matriz

em que x é um número real.

a) Determine para quais valores de x o determinante de A é positivo

b) Tomando

e supondo que, na matriz A, x = –2, calcule B = AC.

Questão 48593

(UNICAMP - 2012 - 2 fase - Questão 11)

Um círculo de raio 2 foi apoiado sobre as retas y = 2x e y = −x / 2, conforme mostra a figura abaixo.

a) Determine as coordenadas do ponto de tangência entre o círculo e a reta y = −x / 2.

b) Determine a equação da reta que passa pela origem e pelo ponto C, centro do círculo.

Questão 48594

(UNICAMP - 2012 - 2 fase - Questão 12)

Um topógrafo deseja calcular a distância entre pontos situados à margem de um riacho, como mostra a figura a seguir. O topógrafo determinou as distâncias mostradas na figura, bem como os ângulos especificados na tabela abaixo, obtidos com a ajuda de um teodolito.

a) Calcule a distância entre A e B.

b) Calcule a distância entre B e D.

Questão 50875

(UNESP - 2012/2 - 1a fase)

Instrução: As questões de números 11 a 15 tomam por base os parágrafos iniciais e alguns fragmentos de um artigo assinado por Wilson Weigl na revista Conhecer, edição de número 20, de 2011.

Raça, suor e tecnologia

Quem é o maior craque do mundo na sua opinião? O argentino Messi? O português Cristiano Ronaldo? Xavi, do Barcelona? Ou você elege a prata da casa, como Kaká, Neymar ou Ganso? São jogadores que esbanjam talento, forma física e técnica. Mas o momento em que esses ídolos entram em campo representa a finalização de um processo envolvendo milhões de dólares em pesquisas de ponta. Porque, além da qualidade individual e do nível tático da equipe, hoje também os uniformes e a bola podem influir no placar final.

Não é exagero. Grandes empresas fabricantes de material esportivo trabalham em parceria com universidades e laboratórios em todo o mundo para desenvolver e aplicar as mais inovadoras tecnologias em chuteiras, camisetas, calções, meias e luvas, visando melhorar o rendimento dos jogadores. O objetivo é amplo: maximizar a performance dos atletas durante os 90 minutos da partida, diminuir o impacto do esforço e encurtar o tempo de recuperação após o jogo. “Os craques da elite do futebol mundial não são apenas garotos-propaganda, mas pilotos de testes no desenvolvimento dos produtos que podem demorar até dois anos antes de chegar às prateleiras das lojas”, diz Daniel Schmidt, gerente de futebol da Adidas no Brasil. E, como não poderia deixar de ser, os grandes campeonatos internacionais são as principais vitrines desses novos produtos.

Entretanto, nenhuma chuteira ou camisa proporcionaria significativo aumento de rendimento dos atletas não fossem as recentes descobertas médicas sobre os processos fisiológicos e as variáveis que influenciam o desempenho esportivo. Conceitos que hoje estão na boca de todos os frequentadores de academia — como biótipo, zona de frequência cardíaca e índice de massa corporal, por exemplo — surgiram nos estudos dos profissionais de medicina esportiva. “Essas descobertas se aceleraram a partir dos anos 80”, conta Miguel de Arruda, diretor associado da Faculdade de Educação Física da Universidade de Campinas (Unicamp), que presta assessoria para times de futebol. Hoje, já é corriqueiro o treinamento de atletas levar em conta informações sobre a influência de marcadores bioquímicos (como atividade hormonal e concentração enzimática). Nada disso era conhecido na época dos gloriosos dias de Garrincha, Pelé e Ademir da Guia.

Produtos desenvolvidos pelas grandes marcas vão chegar primeiro às mãos (ou aos pés) dos astros do esporte.

[...]

Os uniformes atuais, por exemplo, são capazes de baixar a temperatura corporal, facilitar a evaporação do suor e tonificar a musculatura, melhorando a força. Pois tanto o tecido quanto a modelagem das camisetas e dos calções influem no melhor aproveitamento de energia pelo jogador ou, por outro lado, no desperdício dela.

[...]

Há chuteiras que proporcionam mais potência nos chutes, maior controle da bola ou precisão nos passes.

Os modelos atuais são cada vez mais leves e confortáveis; quase sapatilhas de corrida, alguns chegam a pesar meros 165 gramas — menos da metade do peso que Pelé carregava na Copa de 1970, no México. Uma chuteira daquela época pesava cerca de 500 gramas.

Embora o artigo tenha por finalidade enfatizar a utilidade dos produtos da tecnologia e das conquistas da medicina para a prática do futebol, a menção em destaque a grandes jogadores como Pelé, Garrincha, Ademir da Guia, Messi, Cristiano Ronaldo, Xavi, Kaká, Neymar e Ganso deixa implícito que: