FUVEST 2016

Questão 36070

(Unesp 2016/2 - 2ª fase)

Três lâmpadas idênticas (L₁, L₂ e L₃) de resistências elétricas constantes e valores nominais de tensão e potência iguais a 12 V e 6 W, compõem um circuito conectado a uma bateria de 12 V. Devido à forma como foram ligadas, as lâmpadas L₂ e L₃ não brilham com a potência para a qual foram projetadas.

Considerando desprezíveis as resistências elétricas das conexões e dos fios de ligação utilizados nessa montagem, calcule a resistência equivalente, em ohms, do circuito formado pelas três lâmpadas e a potência dissipada, em watts, pela lâmpada L₂.

Questão 36071

(Unesp 2016 - 2ª fase)

Um estudante pretendia construir o tetraedro regular BCDE, representado na figura 1, com seis fios idênticos, cada um com resistência elétrica constante de  no intuito de verificar experimentalmente as leis de Ohm em circuitos de corrente contínua.

Acidentalmente, o fio DE rompeu-se; com os cinco fios restantes e um gerador de 12 V um amperímetro e um voltímetro, todos ideais, o estudante montou o circuito representado na figura 2, de modo que o fio BC permaneceu com o mesmo comprimento que tinha na figura 1.

Desprezando a resistência dos fios de ligação dos instrumentos ao circuito e das conexões utilizadas, calcule as indicações do amperímetro, em A, e do voltímetro, em V, na situação representada na figura 2.

Questão 36131

(UNESP - 2016 - 2 fase)

Está previsto que, a partir de 1º de janeiro de 2017, entrará em vigor um sistema único de emplacamento de veículos para todo o Mercosul, o que inclui o Brasil. As novas placas serão compostas por 4 letras e 3 algarismos.

Admita que no novo sistema possam ser usadas todas as 26 letras do alfabeto, incluindo repetições, e os 10 algarismos, também incluindo repetições. Admita ainda que, no novo sistema, cada carro do Mercosul tenha uma sequência diferente de letras e algarismos em qualquer ordem. Veja alguns exemplos das novas placas.

No novo sistema descrito, calcule o total de placas possíveis com o formato “Letra-Letra-Algarismo-Algarismo-Algarismo-Letra-Letra”, nessa ordem. Em seguida, calcule o total geral de possibilidades de placas com 4 letras (incluindo repetição) e 3 algarismos (incluindo repetição) em qualquer ordem na placa. Deixe suas respostas finais em notação de produto ou de fatorial.

Questão 36132

(Unesp 2016/2 - 2 fase)  Uma empresa oferece frete gratuito para entregas do seu produto em um raio de até 25 km do depósito. Para a distância que ultrapassar 25 km, medida em linha reta desde o depósito, a empresa cobra R$ 20,00 por quilômetro que ultrapasse os 25 km iniciais gratuitos. Essa cobrança também é feita de forma proporcional em caso de frações de quilômetros.

Um consumidor do produto reside 20 km a leste do depósito e x km ao sul. Apresente uma figura representando a situação descrita e determine o valor máximo de x para que esse consumidor tenha direito ao frete gratuito na entrega do produto em sua residência. Em seguida, determine o custo do frete  C (em reais), em função de x, para o caso em que . 

Questão 36133

(Unesp 2016/2 - 2 fase)  Em um plano cartesiano ortogonal são dadas uma reta d, de equação x = -3, e um ponto F, de coordenadas (-1,2). Nesse plano, o conjunto dos pontos que estão à mesma distância do ponto F e da reta d forma uma parábola. Na figura, estão nomeados dois pontos dessa parábola: o vértice V, de coordenadas (-2,2), e o ponto P, de coordenadas (0, y_p).

Determine as coordenadas de dois pontos quaisquer dessa parábola que sejam diferentes de V e de P. Em seguida, calcule y_p. 

Questão 36134

(UNESP - 2016 - 2 fase)

O gráfico da parábola dada pela função  indica, para uma determinada população de insetos, a relação entre a população total atual (x) e a população total no ano seguinte, que seria f(x). Por exemplo, se a população atual de insetos é de 1 milhão (x=1), no ano seguinte será de 2,925 milhões, já que f(1) = 2,925.

Dizemos que uma população de insetos está em tamanho sustentável quando a população total do ano seguinte é maior ou igual a população total atual, o que pode ser identificado graficamente com o auxílio da reta em azul (y=x).

Determine a população total atual de insetos para a qual, no ano seguinte, ela será igual a zero (adote ) e determine a população total atual para qual a sustentabilidade é máxima, ou seja, o valor de x, para o qual a diferença entre a população do ano seguinte e do ano atual, nessa ordem, é a maior possível.

Questão 36135

(Unesp 2016/2)  A demanda de um produto químico no mercado é de D toneladas quando o preço por tonelada é igual a p (em milhares de reais). Neste preço, o fabricante desse produto oferece F toneladas ao mercado. Estudos econômicos do setor químico indicam que D e F variam em função de p, de acordo com as seguintes funções:

 e 

Admitindo-se p > 1 e sabendo que , determine o valor de p para o qual a oferta é igual à demanda desse produto. Em seguida, e ainda admitindo-se p > 1, determine o intervalo real de variação de p para o qual a demanda D(p) do produto é positiva.  

Questão 36136

(UNESP - 2016 - 2 fase)

Os gráficos indicam a diversificação de aplicações para um investimento, por grau de risco, sugeridas por cada um dos bancos A, B e C.

Um investidor decidiu aplicar um capital de R$ 6.000,00 em partes que foram distribuídas pelos três bancos, seguindo a diversificação do grau de risco sugerida por cada banco. O capital aplicado foi distribuído da seguinte forma:

- total de R$ 1.000,00 no banco A (considerando os três graus de risco juntos);

- R$ 2.700,00 em investimentos de baixo risco (nos três bancos juntos);

- R$ 1850,00 em investimentos de médio risco (nos três bancos juntos);

- R$ 1.450,00 em investimentos de alto risco (nos três bancos juntos).

O gráfico a seguir representa a diversificação da aplicação, por grau de risco, juntando os três bancos.

Calcule os montantes de capital que foram investidos nos bancos B e C, e as medidas dos ângulos  e  indicados no gráfico.

Questão 36174

(Unesp 2016/2 - 2 fase)  Esta terra, Senhor, me parece que da ponta que mais contra o sul vimos até a outra ponta que contra o norte vem, de que nós deste porto houvemos vista, será tamanha que haverá nela bem vinte ou vinte e cinco léguas por costa. Traz, ao longo do mar, nalgumas partes, grandes barreiras, delas vermelhas e delas brancas; e a terra por cima toda chã e muito cheia de grandes arvoredos. De ponta a ponta, é toda praia parma, muito chã e muito formosa. [...]

Nela, até agora, não pudemos saber que haja ouro, nem prata, nem coisa alguma de metal nem de ferro; nem lho vimos.

Porém a terra em si é de muito bons ares [...].

Águas são muitas; infindas. Em tal maneira é graciosa que, querendo-a aproveitar, dar-se-á nela tudo, por bem das águas que tem.

Porém o melhor fruto, que nela se pode fazer, me parece que será salvar esta gente. E esta deve ser a principal semente que vossa alteza em ela deve lançar.

(Carta de Pero Vaz de Caminha, 1500. http://objdigital.bn.br.)

Identifique duas das motivações da colonização portuguesa do Brasil citadas na Carta, indicando os trechos do documento que as mencionam.

Questão 36177

(UNESP - 2016 - 2ª fase)

A vinda da Corte com o enraizamento do Estado português no Centro-Sul daria início à transformação da colônia em metrópole interiorizada.

(Maria Odila Leite da Silva Dias. A interiorização da metrópole e outros estudos, 2005.)

Cite e analise duas medidas determinadas pelo Príncipe Regente D. João, nos anos em que ficou no Brasil, que tenham contribuído para essa interiorização da metrópole e seu gradual enraizamento na colônia.