FUVEST 2019

Questão 37903

(UNICAMP - 2019 - 2 fase - Questão 2)

A figura abaixo representa um dado na forma de um tetraedro regular com os vértices numerados de 1 a 4. Em um lançamento desse dado, deve ser observado o número estampado no vértice superior.

a) Considere a soma dos números obtidos em dois lançamentos de um dado tetraédrico. Determine de quantas maneiras essa soma pode resultar em um número primo.

b) Seja  a probabilidade de se observar o número n no lançamento de um dado tetraédrico tendencioso para o qual . Calcule essas quatro probabilidades.

Questão 37904

(UNICAMP - 2019 - 2 fase - Questão 3)

Sabendo que c é um número real, considere a função quadrática , definida para todo número real x.

a) Determine todos os valores de c para os quais .

b) Sejam p e q números reais distintos tais que . Prove que p e q não podem ser ambos números inteiros.

Questão 37905

(UNICAMP - 2019 - 2 fase - Questão 4)

No plano cartesiano, considere a reta r de equação  e os pontos de coordenadas  e .

a) Encontre as coordenadas do ponto de intersecção entre a reta r e a reta que passa pelos pontos  e .

b) Determine a equação da circunferência na qual um dos diâmetros é o segmento .

Questão 37906

(UNICAMP - 2019 - 2 fase - Questão 5)

Sabendo que a e b são números reais, considere a matriz quadrada de ordem 2.

a) Determine todos os valores de a e b para os quais , em que  é a transposta da matriz .

b) Para , sejam  e  números reais tais que 

 .

Determine os possíveis valores de .

Questão 37907

(UNICAMP - 2019 - 2 fase - Questão 6)

Seja um cilindro circular reto com raio da base de comprimento  cm e altura de comprimento . Seja  a maior distância entre dois pontos desse cilindro, como ilustra a figura abaixo.

a) Supondo que o cilindro tenha volume igual a um litro, calcule sua área de superfície total.

b) Determine o valor de d no caso em que (r, h, d) seja uma progressão geométrica.

Questão 37912

(UNICAMP - 2019 - 2 fase - Questão 1)

Nos cruzamentos de avenidas das grandes cidades é comum encontrarmos, além dos semáforos tradicionais de controle de tráfego de carros, semáforos de fluxo de pedestres, com cronômetros digitais que marcam o tempo para a travessia na faixa de pedestres.

a) No instante em que o semáforo de pedestres se torna verde e o cronômetro inicia a contagem regressiva, uma pessoa encontra-se a uma distância d = 20 m do ponto de início da faixa de pedestres, caminhando a uma velocidade inicial v₀ = 0,5 m/s . Sabendo que ela inicia a travessia da avenida com velocidade v = 1,5 m/s , calcule a sua aceleração constante no seu deslocamento em linha reta até o início da faixa.

b) Considere agora uma pessoa que atravessa a avenida na faixa de pedestres, partindo de um lado da avenida com velocidade inicial v₀ = 0,4 m/s e chegando ao outro lado com velocidade final v = 1,2 m/s. O pedestre realiza todo o percurso com aceleração constante em um intervalo de tempo de t = 15 s . Construa o gráfico da velocidade do pedestre em função do tempo e, a partir do gráfico, calcule a largura da avenida.

Questão 37913

(UNICAMP - 2019 - 2 fase - Questão 1)

Em 2017, um grupo de astrônomos europeus detectou sete planetas orbitando uma estrela da Via Láctea denominada TRAPPIST-1. Reproduzimos abaixo algumas informações extraídas desse estudo.

As estimativas das massas dos seis planetas mais próximos da estrela sugerem fortemente uma composição rochosa.

Em especial, três planetas têm irradiações estelares* muito próximas das de Vênus, Terra e Marte.

Supondo condições atmosféricas semelhantes às da Terra, deduziu-se que um desses três planetas, denominado TRAPPIST-1f, pode ter oceanos de água em forma liquida na superfície.

* irradiação estelar é a potência de energia recebida da estrela por unidade de área do planeta.

Responda às questões a seguir.

a) O estudo sugere que o planeta TRAPPIST-1f pode ter sido palco do surgimento de formas de vida semelhantes às da Terra. Levando em conta apenas as características encontradas atualmente em todos os organismos vivos, explique a importância de duas características físicas ou químicas presentes no planeta TRAPPIST-1f para a biologia dos organismos vivos como nós os conhecemos.

b) Uma teoria altamente controversa, denominada panspermia, sugere que a vida existe em vários lugares do Universo e pode ter-se disseminado entre planetas e sistemas estelares, carregada por meteoros. Considerando plausível tal teoria, se dois planetas com características semelhantes fossem semeados simultaneamente pelos mesmos micro-organismos, não necessariamente possuiriam as mesmas formas de vida bilhões de anos depois. Explique por que, incluindo em sua resposta pelo menos um fator que leva a evolução biológica a ser imprevisível.

Qual a relação entre mutações e variabilidade genética, condição essencial para a evolução biológica?

(Fonte: Michael Gillon e outros, Seven temperate terrestrial planets around the nearby ultracool dwarf star TRAPPIST-1. Nature, Cambridge, v. 542, p. 456-460, fev. 2017.)

Questão 37914

(UNICAMP - 2019 - 2 fase - Questão 2)

Em agosto de 2018 a Nasa lançou a Sonda Solar Parker, destinada a investigar o Sol, passando pela coroa solar. A sonda seguirá uma trajetória dando várias voltas em torno do Sol, em órbitas elípticas com grande excentricidade.

a) Considere um corpo que descreve uma órbita elíptica em torno do Sol, como ilustra a figura A. A área da elipse varrida pela linha que liga o corpo ao Sol no trecho 2 é o dobro da área varrida no trecho 1 (A₂ = 2 × A₁); já as distâncias percorridas nos trechos são tais que d₂ = 0,8 × d₁. Se a velocidade escalar média do corpo no trecho 1 é igual a v₁ = 172.000 km/h , quanto vale a velocidade escalar média no trecho 2?

b) A sonda terá sua velocidade modificada (sem consumo adicional de combustível) nas passagens próximas ao planeta Vênus, explorando o efeito conhecido como catapulta gravitacional. Para ilustrar esse efeito, considere dois corpos de massas M e m , inicialmente com velocidades de mesmo módulo (V₀), mesma direção e sentidos contrários. Após a aproximação, os corpos se afastam com velocidades de módulos V_A e V_B, seguindo na mesma direção inicial, conforme mostra a figura B. Como a energia cinética se conserva, a velocidade de afastamento dos corpos é igual à de aproximação: 2v₀ = V_B – V_A. Encontre a velocidade V_B da massa m em termos de M, m e v₀. Em seguida, use M = 100m e encontre a razão V_B / v₀.

Questão 37915

(UNICAMP - 2019 - 2 fase - Questão 3)

Nas proximidades do Sol, a Sonda Solar Parker estará exposta a altas intensidades de radiação e a altas temperaturas. Diversos dispositivos serão usados para evitar o aquecimento excessivo dos equipamentos a bordo da sonda, entre eles um sistema de refrigeração. Um refrigerador opera através da execução de ciclos termodinâmicos.

a) Considere o ciclo termodinâmico representado abaixo para um gás ideal, em que V₂ = 1,5 V₁ e T₁ = 200 K. Calcule a temperatura T₃.

b) A partir do gráfico, estime o módulo do trabalho realizado sobre o gás em um ciclo, em termos apenas de V₁, V₂, P₁ e P₄.

Gráfico da folha de respostas.

Questão 37916

(UNICAMP - 2019 - 2ª FASE)

A fermentação de alimentos ricos em açúcares é um processo prejudicial à saúde bucal, pois promove um ataque químico ao esmalte dos dentes. A parte inorgânica dos dentes é formada por uma substância chamada hidroxiapatita, que, em um ambiente bucal saudável, apresenta baixa solubilidade. Essa solubilidade pode ser equacionada da seguinte forma:

a) Algumas características da saliva se alteram na presença de alimentos. Considerando que o prejuízo aos dentes causado pela ingestão de diferentes fontes de açúcar obedece à ordem
cana > frutas > mel, preencha com as palavras cana, frutas e mel a tabela do espaço de respostas e explique em que se baseou a sua escolha.

b) O uso de água fluoretada e de produtos com flúor é recomendado para a saúde bucal. Explique a vantagem do uso do fluoreto levando em conta a equação informada acima e a equação de dissolução da fluoroapatita abaixo; indique também possíveis correlações entre essas equações.