Questão 22402
UEM
(Uem 2016) Com base em conhecimentos de Geometria Plana, assinale o que for correto.
Quaisquer dois triângulos que possuem a mesma área são congruentes.
Quaisquer dois triângulos congruentes possuem a mesma área.
Quaisquer dois triângulos semelhantes são congruentes.
Quaisquer dois triângulos congruentes não serão sempre semelhantes.
Se os triângulos ABC e DEF são tais que o comprimento de AB é igual ao comprimento de DE, o comprimento de BC é igual ao comprimento de EF e o ângulo interno ABC não é congruente ao ângulo interno DEF, então os segmentos AC e DF possuem o mesmo comprimento.
Gabarito:
Quaisquer dois triângulos congruentes possuem a mesma área.
Resolução:
Alternativa a): Quaisquer dois triângulos que possuem a mesma área são congruentes.
Considere dois triângulos, um equilátero de lado 2, logo de área igual a , e outro retangular de catetos
e 1, logo de área
. Temos dois triângulos que não são congruentes, dado que um tem todos os ângulos iguais a 60º e outro tem um ângulo igual a 90º, com a mesma área. Logo, esta alternativa está incorreta.
Alternativa b): Quaisquer dois triângulos congruentes possuem a mesma área.
Só pensar na fórmula das áreas por seno de algum ângulo do triângulo: seja um triângulo qualquer de vértices A, B e C e lados a (que enxerga opostamente o vértice A), b (que enxerga opostamente o vértice B) e c (que enxerga opostamente o vértice C). Então temos que a área deste triângulo pode ser dado como as expressões seguintes: ou
ou
(repare que cada ângulo presente em cada fração é o ângulo entre os lados da fração).
Portanto, dois triângulos congruentes possuem mesmos lados e mesmos ângulos. Como a área pode ser dada pelas fórmulas dadas acima, então dois triângulos congruentes entre si possuem áreas iguais. Esta alternativa está correta!
Alternativa c): Quaisquer dois triângulos semelhantes são congruentes.
Esta pode ser facilmente verificada sua falsidade se pensarmos em dois triângulos equiláteros, um com lado 1 e outro com lado 2, eles são semelhantes pois possuem os mesmos ângulos, porém, não são congruentes, pois possuem lados diferentes. Esta alternativa está incorreta.
Alternativa d): Quaisquer dois triângulos congruentes não serão sempre semelhantes.
Triângulos congruentes são triângulos com todos os lados iguais e ângulos iguais. Como os critérios de semelhança entre dois triângulos é de que estes dois triângulos possuam mesmos ângulos, então se dois triângulos são congruentes, obrigatoriamente estes mesmos dois triângulos são semelhantes. Esta alternativa está incorreta.
Alternativa e): Se os triângulos ABC e DEF são tais que o comprimento de AB é igual ao comprimento de DE, o comprimento de BC é igual ao comprimento de EF e o ângulo interno ABC não é congruente ao ângulo interno DEF, então os segmentos AC e DF possuem o mesmo comprimento.
Desenhe dois pontos, B e E, diferentes e distantes o suficiente entre si. A partir destes dois pontos desenhe dois segmentos partindo de B e dois segmentos partindo de E, um dos segmentos que parte de B termina em A e outro que parte de B termina em C, um dos segmentos que parte de E termina em D e outro termina em F de tal maneira que AB = DE e BC = EF. Agora faça com que os ângulos entre os dois segmentos para cada ponto sejam diferentes, ou seja, o ângulo seja diferente de
. É nítido que os lados AC e DF serão diferentes.
Também poderíamos provar isto com a lei dos cossenos. Esta alternativa está incorreta.
A alternativa a ser assinalada é, portanto, a Letra B.