Questão 43

AFA 2007

Matemática

(AFA - 2007)

Seja $lambda$ uma circunferência inscrita em um triângulo retângulo AOB cujos catetos estão sobre os eixos cartesianos e medem 3 cm e 4 cm, conforme a figura abaixo.

É INCORRETO afirmar que

o ponto de $lambda$ mais próximo da origem tem a soma das coordenadas igual a 2 - $sqrt{2}$ .

a área da região sombreada é menor que 3 cm².

o conjunto de pontos do plano equidistantes de A e B ´r representado por 8x - 6y - 7 = 0.

a região sombreada é definida por $left{egin{matrix} ygeq 0\ xgeq 0 \ 3x+4yleq 1 \ (x-1)^{2}+(y-1)^{2}geq 1 end{matrix} ight.$ .

Gabarito:

a região sombreada é definida por $left{egin{matrix} ygeq 0\ xgeq 0 \ 3x+4yleq 1 \ (x-1)^{2}+(y-1)^{2}geq 1 end{matrix} ight.$ .

Resolução:

A) O ponto mais próximo está na reta $y=x$ . Substituindo na equação da circunferência $(x-1)^2+(y-1)^2=1$ :

$2(x-1)^2=1$

$2x^2-4x+1=0$ ⇒ $x=frac{2pm sqrt{2}}{2}$

Queremos a menor distância, então o ponto é $left (frac{2- sqrt{2}}{2},frac{2- sqrt{2}}{2} ight )$ . $S=2-sqrt{2}$ → Alternativa correta.

B) $A=frac{3cdot 4}{2}-picdot 1^2< 3$ → Alternativa correta.
C) Coeficiente angular da reta que passa por AB: $m_1=-frac{3}{4}$ . Coeficiente da reta perpendicular: $m_2=frac{4}{3}$ .

Ponto médio do segmento AB: $C=left (frac{4}{2},frac{3}{2} ight )=(2,frac{3}{2})$ . Assim:

$y-frac{3}{2}=frac{4}{3}(x-2)$

$6y-9=8x-16$ ⇒ $8x-6y-7=0$ → Alternativa correta.
D) A região sombreada é definida por $left{egin{matrix} ygeq 0\ xgeq 0 \ 3x+4yleq 12 \ (x-1)^{2}+(y-1)^{2}geq 1 end{matrix} ight.$ . → Alternativa incorreta.

Letra D.

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