Questão 60

AFA 2007

Matemática

(AFA - 2007)

Considere um triângulo retângulo inscrito em uma circunferência de raio R, tak que a projeção de um dos catetos sobre a hipotenusa mede, em cm, $frac{R}{m}$ (m $geq$ 1). Considere a esfera gerada pela rotação desta circunferência em torno de um dos seus diâmetros. O volume da parte desta esfera, que não pertence ao sólido gerado pela rotação do triângulo em torno da hipotenusa é, em cm³, dado por:

$frac{2}{3}pi R^{3}left [ 1+left ( frac{m-1}{m} ight )^{2} ight ]$

$frac{2}{3}pi R^{3}left [ 1-frac{m+1}{m} ight ]^{2}$

$frac{2}{3}pi R^{3}left ( frac{m+1}{m} ight )^{2}$

$frac{2}{3}pi R^{3}left ( frac{m-1}{m} ight )^{2}$

Gabarito:

$frac{2}{3}pi R^{3}left [ 1+left ( frac{m-1}{m} ight )^{2} ight ]$

Resolução:

i) Teorema de Pitágoras:

$R^2=h^2+left ( frac{R}{m}-R ight )^2$

$0=h^2+frac{R^2}{m^2}-frac{2R^2}{m}$

$h^2=R^2left ( frac{2}{m}-frac{1}{m^2} ight )$

$h^2=R^2left ( frac{2m-1}{m^2} ight )$

ii) Volume da rotação do triângulo:

$V_1=frac{pi h^2 cdot 2R}{3}$

$V_1=frac{2 pi R^3}{3}left ( frac{2m-1}{m^2} ight )$

Volume da esfera:

$V_2=frac{4 pi R^3}{3}$

Diferença entre os volumes:

$V_2-V_1=frac{4 pi R^3}{3}- frac{2 pi R^3}{3}left ( frac{2m-1}{m^2} ight )$

$V_2-V_1=frac{2 pi R^3}{3}left (2- frac{(2m-1)}{m^2} ight )$

$V_2-V_1=frac{2 pi R^3}{3}left (frac{2m^2-2m+1}{m^2} ight )$

$V_2-V_1=frac{2 pi R^3}{3}left (1+ left (frac{m+1}{m} ight )^2 ight )$

Alternativa correta é Letra A.

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