Questão 4

AFA 2009

Física

(AFA - 2009)

Uma pessoa, brincando em uma roda-gigante, ao passar pelo ponto mais alto, arremessa uma pequena bola (Figura 1), de forma que esta descreve, em relação ao solo, a trajetória de um lançamento vertical para cima.

A velocidade de lançamento da bola na direção vertical tem o mesmo módulo da velocidade escalar (v) da roda-gigante, que executa um movimento circular uniforme. Despreze a resistência do ar, considere a aceleração da gravidade igual a g e $pi$ = 3. Se a pessoa consegue pegar a bola no ponto mais próximo do solo (Figura 2), o período de rotação da roda-gigante pode ser igual a

$frac{v}{g}$

$frac{10}{7}frac{v}{g}$

$frac{20}{3}frac{v}{g}$

$12frac{v}{g}$

Gabarito:

$frac{20}{3}frac{v}{g}$

Resolução:

Considerando H a altura do ponto mais baixo da roda gigante ao ponto mais alto que a bola atinge, temos:

$H = 2R+h$

$H = 2R+vcdot t - frac{gcdot t^2}{2}$

$H = 2R+h=2R+vcdot t - frac{gcdot t^2}{2}$ (equação 1)

$v = frac{2cdot pi cdot R}{T}$
Isolando R e considerando $pi=3$ :

$v = frac{2cdot 3 cdot R}{T}$

$v = frac{6 cdot R}{T}$

$R = frac{vcdot T}{6}$ (equação 2)

$t = frac{T}{2}$ (equação 3)

Quando a bola faz todo o percurso e chega ao ponto mais baixo da trajetória, tem-se:
$H = 0Rightarrow 2R+vcdot t - frac{gcdot t^2}{2} = 0$ (equação 4)

Substituindo as equações 2 e 3 na equação 4, tem-se:

$2cdot frac{vcdot T}{6}+vcdot frac{T}{2} - frac{gcdot (frac{T}{2})^2}{2} =0$

$frac{2cdot vcdot T+3cdot vcdot T}{6} - frac{gcdot (frac{T}{2})^2}{2} =0$

$frac{5cdot vcdot T}{6} - frac{gcdot frac{T^2}{4}}{2} =0$

$frac{5cdot vcdot T}{6} - frac{gcdot T^2}{8} =0$

$- frac{gcdot T^2}{8} = - frac{5cdot vcdot T}{6}$

Multiplicando pir - 1 para os dois lados ficarem positivos:

$frac{gcdot T^2}{8} = frac{5cdot vcdot T}{6}$

$gcdot T^2 = frac{8cdot 5cdot vcdot T}{6}$

$T = frac{40cdot v}{6cdot g}$

Simplificando por 2:

$T = frac{20cdot v}{3cdot g}$

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