Questão 29

AFA 2009

Matemática

(AFA - 2009)

Considere as proposições abaixo.

I. A soma dos infinitos termos da sequência cujo termo geral é $frac{n}{3^{n}},, n in mathbb{N^{ast}}$ , converge para $frac{3}{4}$ .

II. Se $a_{k}=cosleft(frac{2kpi}{3} ight )$ ; $k in mathbb{N^{ast}}$ , o valor de $a_{1}+a_{2}+..+a_{97}$ é zero.

III. Se (3, a, b) formam uma progressão geométrica de razão q e (a, b, 45), uma progressão aritmética de razão r, com a, b $in mathbb{N}$ , $frac{r}{q}=6$ .

Pode-se afirmar que, entre as proposições,

apenas uma é falsa

apenas duas são falsas

todas são falsas

todas são verdadeiras

Gabarito:

apenas uma é falsa

Resolução:

I - A soma dos infinitos termos da sequência cujo termo geral é $frac{n}{3^{n}},, n in mathbb{N^{ast}}$ , converge para $frac{3}{4}$ .

Desenvolvendo a soma

1/3 + 2/3² + 3/3³ + ... = 1/3 + 2/9 + 3/27 ... = 1/3 + (1/9 + 1/9) + (1/27 + 1/27 + 1/27) ...

Somando-se membro a membro é obtida uma nova sequência:

Sn = 1/2 + 1/6 + 1/18 ... O msomatório, então, será: (1/2)/(1-(1/3)) = 3/4

II - Se $a_{k}=cosleft(frac{2kpi}{3} ight )$ ; $k in mathbb{N^{ast}}$ , o valor de $a_{1}+a_{2}+..+a_{97}$ é zero.

Ao desenvolver os primeiros termos da série poderemos observar que esta irá variar de 0 até -1, isso a cada soma de 3 termos. É possível notar também que em todas posições múltiplas de 3 o somatório zera, logo na posição 97 o somatório é diferente de 0, mais precisamente será -0,5.

III - III. Se (3, a, b) formam uma progressão geométrica de razão q e (a, b, 45), uma progressão aritmética de razão r, com a, b $in mathbb{N}$ , $frac{r}{q}=6$ .

PG = (3, a, b) PA = (a, b, 45)

q = a/3 r = b - a

a² = 3b b = (a + 45)/2

a = 9 e b = 27, logo, q = 3 e r = 18

r/q = 6

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