Questão 1

AFA 2011

Matemática

(AFA - 2011)

Se $alpha =sqrt{2} cdot sqrt{2+sqrt{2}}cdotsqrt{2+sqrt{2+sqrt{2}}}cdotsqrt{2-sqrt{2+sqrt{2}}}$

$alpha in ( mathbb{R}-mathbb{N})$

$alpha$ pode ser escrito na forma $alpha$ = 2k, k $in mathbb{Z}$

$alpha in [(mathbb{Q}-mathbb{Z}) cup (mathbb{R}-mathbb{Q})]$

$[(mathbb{Z}capmathbb{Q}) cap (mathbb{R}-mathbb{N})]supset alpha$

Gabarito:

$alpha$ pode ser escrito na forma $alpha$ = 2k, k $in mathbb{Z}$

Resolução:

Temos:

$alpha =sqrt{2} cdot sqrt{2+sqrt{2}}cdot sqrt{2+a}cdot sqrt{2-a}=$

$=sqrt{2} cdot sqrt{2+sqrt{2}}cdot sqrt{(2+a) imes (2-a)}=$

$=sqrt{2} cdot sqrt{2+sqrt{2}}cdot sqrt{(2^2-a^2) }=$

$=sqrt{2} cdot sqrt{2+sqrt{2}}cdot sqrt{(4-(sqrt{2}+2)) }=$

$=sqrt{2} cdot sqrt{2+sqrt{2}}cdot sqrt{2-sqrt{2} }=$

$=sqrt{2} cdot sqrt{(2+sqrt{2}) imes (2-sqrt{2})}=$

$=sqrt{2} cdot sqrt{4-sqrt{2}^2}=$

$=sqrt{2} cdot sqrt{4-2}=$

$=sqrt{2} cdot sqrt{2}=$

$=2$

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