Questão 3

AFA 2011

Matemática

(AFA- 2011)

De um dos lados de uma avenida retilínea, estão dispostos alguns postes nos ponto $P_{1}, P_2, ...,P_i, i in mathbb{N}$ .

Do outro lado dessa mesma avenida, estão dispostas algumas árvores nos pontos $A_{1}, A_2, ...,Pj, j in mathbb{N}$

Sabe-se que:

$overline{P_{1}P_{2}} = 3dam$
$overline{P_{1}P_{i}} = 63dam$
$(overline{P_{1}P_{2}}, overline{P_{2}P_{3}}, ...)$ é uma progressão aritmética finita de razão 3
$overline{A_{1}A_{j}} = overline{P_{1}P_{i}}$
$(overline{A_{1}A_{2}}, overline{A_{2}A_{3}}, ...)$ é uma progressão geométrica finita de razão 2
i = j

Com base nessas informações, é correto afirmar que a maior distância entre duas árvores consecutivas é, em dam, igual a

Gabarito:

Resolução:

Primeiro vamos descobrir o valor de i, que é iglau a j. Como a progressão aritmética tem j-1 termos, primeiro termo igual a 3, soma dos termos igual a 63 e razão igual a 3, fica fácil descobrir j pela fórmula da soma dos ermos da PA.

$S_{n}=frac{(a_{1}+a_{n}) imes n}{2}=frac{(3+a_{n}) imes n}{2}=frac{(3+a_{1}+(n-1) imes r) imes n}{2}=frac{(3+3+ (n-1) imes 3) imes n}{2}$

$ightarrow 63=frac{(3+3n) imes n}{2} ightarrow 21=frac{(n+1) imes n}{2} ightarrow$

$ightarrow (n+1) imes n= 6 imes 7$ , como n>0, n deve ser igual a 6.

Temos que , tem o mesmo número de termos que a sequência de postes, ou seja, 6 termos, também tem soma 63 e razão igual a 2. Vamos então descobrir o seu primeiro termo pela soma de PG:

$63= a_{1 imes }frac{(1-2^6)}{1-2}= a_1 imes 63 ightarrow a_1=1$ . O sexto termo então será o maior e é dado por:

$a_6=1 imes 2^5=32$ . Então a maior distância é 32 dam.

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