Questão 18

AFA 2011

Matemática

(AFA - 2011)

O período da função real f definida por $f(x)=frac{sen(3x)+sen(x)}{cos(3x)+cos(x)}$ é igual a

$2pi$

$pi$

$frac{pi}{4}$

$frac{pi}{2}$

Gabarito:

$frac{pi}{2}$

Resolução:

*Calculando sen(3x):

$sen(3x)= sen(2x) imes cos(x)+cos (2x) imes sen(x)=$

$=2 cdot sen(x) cdot cos(x) imes cos(x)+sen(x) imes [2 cos^2(x)-1]=$

$=2 cdot sen(x) cdot cos^2(x) +2 cdot sen(x) cdot cos^2(x) - sen(x)=$

$=4 cdot sen(x) cdot cos^2(x) - sen(x)$ (i).

**Calculando cos(3x):

$cos(3x)= cos(2x) cdot cos(x)- sen(2x) cdot sen(x)=$

$=[2 cdot cos^2(x)-sen(x)] imes cos(x)- [2 cdot sen(x) cdot cos(x)] cdot sen(x)=$

$=2 cdot cos^3(x)- cos(x)- 2 cdot sen^2(x) cdot cos(x)$ (ii).

Podemos substuir (i) e (ii) dentro de f(x):

$f(x)=frac{sen(3x)+sen(x)}{cos(3x)+cos(x)}=$

$=frac{4 cdot sen(x) cdot cos^2(x) - sen(x)+sen(x)}{2 cdot cos^3(x)- cos(x)- 2 cdot sen^2(x) cdot cos(x)+ cos(x)}=$

$=frac{4 cdot sen(x) cdot cos^2(x) }{2 cdot cos^3(x)- 2 cdot sen^2(x) cdot cos(x)}=$

$=frac{2 cdot 2 cdot cos(x) cdot sen(x) cdot cos(x) }{2 cdot cos(x) cdot[cos^2(x)- sen^2(x)] }=$

$=frac{2 cdot sen(x) cdot cos(x) }{ cos^2(x)- sen^2(x) }=$

$=frac{sen(2x)}{cos(2x)}= tg(2x) ightarrow$

$ightarrow f(x)= tg(2x) .$

Como a função tangente de x tem periodo igual a pi, o período da função tangente de dois x é:

$T=frac{pi}{2}$

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