Questão 6446

AFA 2011

Matemática

(EPCAR - 2011) Se a ∈ é raiz da equação na incógnita y, , então

Gabarito:

Resolução:

SEGUNDA SOLUÇÃO:

, a ∈ é raiz.

Primeira coisa que sempre precisamos fazer neste tipo de questão é analisar a existência de raízes. Por exemplo, aqui temo um monte de y dentro de raiz quadrada. Mas a gente sabe que para y real, a expressão com y dentro da raiz quadrada sempre tem que ser maior que 0.

Então, vamos verificar isto primeiro:

$sqrt{y^4-y^2}=sqrt{y^2left(y^2-1 ight )}$ , como $y^2$ é sempre maior que zero, então $y^2-1geq0Rightarrow yleq-1,,e,,ygeq1$ .

Agora, tem a outra expressão de raiz $sqrt{1-sqrt{y^4-y^2}}$ :

$1-sqrt{y^4-y^2}geq0Rightarrow 1geqsqrt{y^2left(y^2-1 ight )}$ , como 1 é maior que 0 e $sqrt{y^2left(y^2-1 ight )}$ é também maior que zero (pois toda raiz quadrada é maior que zero), então podemos elevar os dois lados da inequação ao quadrado:

$left(1geqsqrt{y^2left(y^2-1 ight )} ight )^2Rightarrow1geq y^4-y^2Rightarrow y^4-y^2-1leq0,,,Delta=left(-1 ight )^2-4cdotleft(1 ight )left(-1 ight )Rightarrow Delta=5Rightarrowsqrt{Delta}=sqrt{5}\\ y^2=frac{1pmsqrt{Delta}}{2}=frac{1pmsqrt{5}}{2}, ,,y^2geq0Rightarrow y^2 eqfrac{1-sqrt{5}}{2}Rightarrow y^2=frac{1+sqrt{5}}{2}$

Então, para que $y^4-y^2-1leq0$ , $0leq y^2leqfrac{1+sqrt{5}}{2}Rightarrow -sqrt{left(frac{1+sqrt{5}}{2} ight )}leq yleq sqrt{frac{1+sqrt{5}}{2}}$ , mas como $yleq-1,,e,,ygeq1$ , então y só pode assumir valores nos intervalos $-sqrt{frac{1+sqrt{5}}{2}}leq yleq-1,,ou,,1leq yleqsqrt{frac{1+sqrt{5}}{2}}$ . Vamos apenas guardar este resultado.

Agora, como então, podemos elevar tudo ao quadrado e obter:

$1-sqrt{y^4-y^2}=y^2-2y+1Rightarrowsqrt{y^4-y^2}=2y-y^2Rightarrowleft(sqrt{y^4-y^2}=2y-y^2 ight )^2Rightarrow\\ y^4-y^2=4y^2-4y^3+y^4Rightarrow 5y^2=4y^3Rightarrow y=frac{5}{4}$

Nós temos que verificar se esta raiz de y é uma raiz possível. Para isto, observemos os intervalos de valores possíveis para y que descobrimos anteriormente:

$-sqrt{frac{1+sqrt{5}}{2}}leq yleq-1,,ou,,1leq yleqsqrt{frac{1+sqrt{5}}{2}}$

Então, $frac{5}{4}$ deve ser menor que $sqrt{frac{1+sqrt{5}}{2}}$ para que $y=frac{5}{4}$ seja raiz. Vamos verificar isto:

$frac{5}{4}<sqrt{frac{1+sqrt{5}}{2}}Rightarrowfrac{25}{16}<frac{1+sqrt{5}}{2}Rightarrow50<16+16sqrt{5}Rightarrow16sqrt{5}>34Rightarrow left(16sqrt{5}>34 ight )^2Rightarrow 256cdot5=1280>34^2=1156$

Logo, $frac{5}{4}$ é menor que $sqrt{frac{1+sqrt{5}}{2}}$ . Então, $y=frac{5}{4}$ é raiz.

Daí, $y=a=frac{5}{4}$ . Pondo em forma decimal, $a=frac{5}{4}=1,25$ .

Das alternativas, a Letra B é a que melhor se encaixa, pois $1<a=frac{5}{4}=1,25<frac{3}{2}=1,5$ .

A alternativa correta é, portanto, a Letra B.

Questão 6446

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