Questão 29

AFA 2014

Matemática

(AFA - 2014) Seja f uma função quadrática tal que:

• f(x) > 0 ∀ x ∈ IR
• tem gráfico interceptando o gráfico da função g, dada por g(x) = 2, num único ponto cuja abscissa é 2
• seu gráfico possui o ponto Q, simétrico do ponto R (0, – 3) em relação à origem do sistema cartesiano.

Seja h uma função afim cujo gráfico intercepta o gráfico de f no eixo e no ponto menor ordenada de f.
Assim sendo, o conjunto solução da inequação contém o conjunto:

[0, 8]

[1, 7]

[2, 6]

[3, 5]

Gabarito:

[3, 5]

Resolução:

$f(x) = ax^{2} + bx + c$

Para f(x) > 0, temos que a > 0 e $Delta > 0$

$b^{2} - 4ac > 0$

Se f(x) intercepta g(x) = 2, sabendo que g(x) =2 é uma reta horizontal que passa por y = 2, temos que o y do vértice de f(x) é 2. Além disso, a abscissa desse ponto é 2.

Q é simétrica a R(0, -3) em relação À origem, então:

$left{egin{matrix} x_{Q} =& -x_{R} = & 0 \ y_{Q} = & -y_{R} = & -(-3) = 3 \ & & end{matrix} ight.$

Logo Q(0,3)

Logo $f(0) = a cdot 0^{2} + b cdot 0 +c = 3 Rightarrow c = 3$

$h(x) = dx + e$

h intercepta f no ponto (0,3) e no ponto $(frac{-b}{2a}; 2 )$

$left{egin{matrix} 3 = & 0cdot d + e Rightarrow e = 3 \ frac{-b}{2a} cdot d & + e Rightarrow d = frac{2a}{b} end{matrix} ight.$

De (I), temos que b/2a = -2, logo d = -1/2.

Assim:

$h(x) = -frac{1}{2}x + 3$

Como $f(x) > 0 forall x e g(x)>0$ , então

$frac{[f(x)]^{3} cdot [g(x)]^{10}}{[h(x)]^{15}} geq 0$

Para [h(x)] > 0

$-frac{x}{2} + 3 > 0 Rightarrow 3 > frac{x}{2} Rightarrow x < 6$

Logo, a solução é $S = ] -infty; 6 [$

O único intervalo que está contido no conjunto solução é o apresentado no item D.

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